Окружность. Эллипсомназывается геометрическое место точек M(x,y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1(+с,0) и F2(-с,0) (называемых фокусами эллипса)

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек M (x,y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F ₁(+с, 0) и F ₂(- с,0) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2 а.

Вывод уравнения эллипса.

По определению и значит а >c.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками

По определению . Подставим в это равенство r ₁ и r₂:

.

Проделаем преобразования:

Если a ²- c ²= b ², b ² x ² +a ² y ² =a ² b ² и

- каноническое уравнение эллипса.

Для полноты доказательства следовало показать, что любая точка, удовлетворяющая этому уравнению, принадлежит эллипсу.

Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F ₁(с, 0), F ₂(- с, 0) - фокусы эллипса; 2 c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; АВ=2а и
CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по формуле .

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.

Прямые и , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояниях , называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F ₁ и F ₂. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету .

Окружность представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точки О, называемой центром окружности. Уравнение окружности можно получить из уравнения эллипса при a=b=R:

x ² +y ² =R ².

Дата добавления: 2013-12-13