Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек M (x,y), для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F ₁(+ c, 0) и F ₂(- c, 0) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2а.

Вывод уравнения гиперболы.

По определению и значит а<с.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками

По определению . Подставим в это равенство r ₁ и r ₂:

Проделаем преобразования:

Если c ²- a ² =b ², то b ² x ² -a ² y ² =a ² b ² и

- каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F ₁(+,0) и F ₂(-, 0) - фокусы гиперболы; 2 с - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; AB= 2 a - действительная ось гиперболы; CD= 2 b - мнимая ось гиперболы; - эксцентриситет гиперболы.

Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.

Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид .

Угол между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы , он определяется из уравнения . При гипербола называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид . Если принять асимптоты за оси координат, то уравнение гиперболы примет вид , то есть равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности.

Прямые , перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от ее центра на расстояниях , называются директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F ₁ и F ₂. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету .

Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и

определяются уравнениями и .

Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.

Дата добавления: 2013-12-13