Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Изменение начала координат и поворот осей

Читайте также:
  1. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
  2. Аффинная система координат
  3. Базис и координаты
  4. В проекциях на оси координат
  5. Весной 1998 года Ельцин отправил в отставку премьер-министра Черномырдина, началась «министерская чехарда».
  6. Возникновение, изменение и прекращения права природопользования
  7. Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах
  8. Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
  9. Декартова прямоугольная система координат
  10. Декартова система координат
  11. Декартова система координат.
  12. Добавление, изменение порядка и удаление слайдов

Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

Повернём оси координат на угол a относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x¢Oy¢ равны и y¢. Найдём её координаты в системе коорднат xOy. В треугольнике CMD , OD=x¢, MD=y¢.

 

 

Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC+CM=DB+CM.

Поскольку

то (3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x¢,y¢) этой же точки при повороте осей на угол a.

Формулы, выражающие новые координаты (x¢,y¢) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол a, то старая система получается поворотом новой на угол (-a), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно a на (-a).

Выполнив это преобразование, получим

 

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x0 по оси ox и на y0 по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол a, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые

(4)

и новые координаты через старые:

(5)

Приведение общего уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду

Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:

.

Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо парабола, либо распадается на пару прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих).

Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями и переносом начала координат в центр кривой (x0,y0).

1) Члены, содержащие переменные в первой степени, исчезают после выделения в общем уравнении полных квадратов, тем самым алгебраически позволяют найти центр кривой после применения формул

Центр кривой, если он существует, находится из системы

(6)

 

– условие центральности.

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

После переноса начала координат в центр (x0,y0) уравнение кривой примет вид

,

где .

2) Члены, содержащие произведение текущих координат исчезают после

применения формул

 

подвергнем уравнение (6) преобразованию поворота осей координат на угол .

После преобразования



где - новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения, слагаемые второго порядка:

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение , коэффициент перед которым равен

Угол поворота находится из условия В1=0: .

Откуда (7)

Каноническое уравнение кривой принимает вид:

,

где

Сделаем некоторые замечания о виде линий второго порядка.

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

.

При этом выражения и

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1) Эллиптический тип, если .

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .

2) Гиперболический тип, если .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .

3) Параболический тип, если .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

 

Пример. Приведите уравнение 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и постройте кривую.

Выделим полный квадрат: сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты:
(5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0, 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0.

Дополним члены в скобках до полных квадратов:
5(x26x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 11) +9 = 0, 5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45.

Введем новые координаты: x¢ = x – 3, y¢ = y + 1, x0 = 3, y0 = -1,

то есть точка О1(3, -1) – центр кривой.

Уравнение в новой системе координат принимает вид:

, определяет эллипс с полуосями а=3, b=который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1).

 

Пример. Определите вид кривой

Определим угол поворота осей по формуле (7):

Подвергнем уравнение кривой преобразованию:

и получим уравнение эллипса

.

2 + 22 = 2.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Параллельный перенос | Окружности

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 5616; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.