Основное уравнение МКТ идеального газа для давления

Лекция 2

Средние характеристики молекул позволяют рассчитать термодинамические параметры системы. Рассмотрим вывод уравнения для давления идеального газа, находящегося в объеме при температуре .

Как известно, давление газа на стенки сосуда обусловлено ударами молекул о стенки сосуда. Предположим, что все молекулы движутся с одинаковой по модулю скоростью вдоль трех взаимно перпендикулярных осей . Оценим импульс , передаваемый молекулой при одном ударе о стенку. Из рис. 2.4 следует, что . За время со стенкой сосуда столкнется часть всех молекул, находящихся в объеме цилиндра с площадью основания S и высотой . Это связано с хаосом в движении молекул - вдоль любой из осей движется одинаковое число молекул ((1/3) N), а в положительном направлении оси - половина от ((1/3) N), т.е. (1/6) N всех молекул. За время все молекулы проходят расстояние , что и определяет высоту цилиндра.

Поэтому за время стенка получит от молекул импульс, равный

,

где в формулу введена концентрация молекул .

Давление газа на стенку сосуда равно отношению средней силы давления на стенку сосуда к площади этой стенки, а средняя сила давления выражается через средний импульс, переданный стенке за время

.

Итак, для давления идеального газа на стенки сосуда можно записать

Рис. 2.4

. (2.21,а)

В формуле среднее значение от квадрата скорости <> молекул учитывает тот факт, что молекулы имеют разные скорости, т.е. снимается ограничение, которое было сделано выше.

Как показывают расчеты, учет движения молекул по всем направлениям в пространстве (не только вдоль осей ), приводит также к записанной выше формуле для давления идеального газа.

Выразим давление идеального газа через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул

. (2.21,б)

Полученные формулы (2.20) и (2.21) решают задачу расчета макропараметров системы на основе знания свойств отдельной молекулы, в них отражена схема решения задачи, приведенная на рис.2.1. Действительно, перепишем формулы (2.20) и (2.21):

, (2.22,а)

, (2.22,б)

. (2.22,в)

Видно, что в формулы входят: 1) характеристики отдельной молекулы – скорость и кинетическая энергия, которые непрерывно изменяются (первый блок на рис. 2.1); 2) функции распределения молекул по модулю их скорости и по их кинетическим энергиям (второй блок); 3) средние характеристики молекул

(блок 3, усреднение в формулах присутствует в виде интеграла); 4) термодинамические параметры системы (блок 4).

Дата добавления: 2013-12-13