Теорема 3. О предварительно заданной плоской кривой в линии пересечения

Теорема 2. О двойном соприкосновении.

Распадение линии пересечения

В определенных условиях, рассматриваемых далее, линия пересечения поверхностей 4-ого порядка распадается на кривые низших порядков, сумма порядков которых равна 4. В общем случае возможны сочетания: 1+1+1+1; 1+1+2; 2+2; 1+3.

Если две поверхности 2-ого порядка касаются друг друга в двух точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-ого порядка.

Задача 4_13- а. Лучше решить с построением. Но можно загрузить одноименный файл (лекция 11). Вынести линию. Диагностировать эллипсы.

Следствие. Эллиптические поверхности 2-ого порядка имеют круговые сечения.

Существование круговых сечений вытекает из теоремы 2: нужно обеспечить касание эллиптической поверхности и некоторой сферы. Согласно теореме они пересекутся по двум плоским кривым. Но плоские кривые на сфере – это окружности.

Построение круговых сечений прямого эллиптического конуса:

1. построить эллиптический конус;
2. построить сечение конуса как его фронтальный очерк;
3. опустить перпендикуляр из произвольной точки оси конуса на образующую конуса – на его сечение;
4. построить сферу радиусом, равным длине перпендикуляра;
5. выполнить объединение и получить линии пересечения;
6. вытянуть и диагностировать окружности. Показать два семейства окружностей.

Если две поверхности 2-ого порядка по построению пересекаются по одной плоской кривой, то существует еще одна плоская кривая в линии их пересечения. (4–2=2)

Задача 4_13-б. Загрузить одноименный файл (лекция 11). Диагностировать эллипс. Достроить эллипс до полного.

Теорема 4. Теорема Монжа. (Напомнить: Гаспар Монж – основоположник начертательной геометрии).

Если две поверхности 2-го порядка касаются третьей поверхности 2-ого порядка, то первые две поверхности пересекаются по двум плоским кривым 2-го порядка.

Задача 4.11. Построить самому.

Последовательность построений для реализации пересечения по теореме Монжа:

1. Создать контуры вращения заданных тел, обеспечив касание образующих (привязка Tangent) с общей окружностью.
2. Построить тела вращением их контуров.
3. Выполнить объединение тел.
4. Вытянуть линию пересечения. Диагностировать линию пересечения.

Пример с пересечением двух трубопроводов. Разделить заготовки под сварку.

Пример с вписанными эллипсоидами (лекция 11).

Задача о пересечении двух цилиндров равного диаметра с пересекающимися перпендикулярными осями.

Построить два цилиндра разного цвета, сделать копии. Одну объединить – два трубопровода. Вторую пересечь. Получим решение задачи: "спереди – окружность, слева – окружность, но не сфера, что это?".

Срезать половину, создать оболочку – архитектурный свод в храмах.

Пример на пересечение конусов по эллипсу и гиперболе:

1. Построить конус вращения с верхней чашей.
2. Создать дубликат конуса.
3. Построить ось вращения из вершины в центр основания (привязка Center).
4. Повернуть один из конусов вокруг произвольной точки оси вращения (привязка Nea) так, чтобы пересеклись обе чаши.
5. Придать конусам разный цвет.
6. Объединить – образовались эллипс и гипербола.
7. Вытянуть кривые. Показать наглядно
8. Построить асимптоты гиперболы.

Дата добавления: 2013-12-14