Сечения однополостного гиперболоида вращения

Пример построения квадрики – однополостного гиперболоида вращения

Лекция 14. Исследование линии пересечения поверхностей второго порядка

Исследование линии пересечения для "физиков" – это курсовой проект. Для "строителей" материал, входящий в экзаменационные вопросы.

Построение поверхностей второго порядка (квадрик)

4 вида конуса (круговой, эллиптический, параболический, гиперболический), 4 вида цилиндра (круговой, эллиптический, параболический, гиперболический), два гиперболоида вращения (однополостный и двуполостный), два эллиптических гиперболоида, параболоид вращения и эллиптический параболоид, эллипсоид вращения (вокруг большой оси или вокруг малой оси, сфера), трехосный эллипсоид, гиперболический параболоид (косая плоскость).

Большая часть эти поверхности были ранее нами рассмотрены. Еще часть будет рассмотрена. Рассмотренные поверхности нужно уметь построить.

1. Построить гиперболу как сечение кругового конуса; для упрощения построений сечение построить параллельно оси конуса.
2. Построить асимптоты гиперболы как сечение конуса, параллельное первому и проходящее через вершину конуса.
3. Переместить асимптоты в плоскость гиперболы.
4. Перенести конус на другой слой.
5. Из полученной гиперболы построить контур вращения гиперболоида.
6. Построить гиперболоид вращением контура.
7. Построить его горловину как окружность.
8. Сохранить файл как "гипер+конус".

Конус можно рассматривать как предельный случай гиперболоида, у которого горловина сжата в точку. Поэтому тип сечения гиперболоида подчиняется тем же закономерностям, что и для конуса.

Построить:

1. гиперболу как сечение плоскостью, параллельной оси гиперболоида;
2. эллипс как сечение плоскостью, пересекающей все очерковые гиперболы;
3. параболу как сечение плоскостью, параллельной асимптоте гиперболы, не проходящее через центр гиперболы;
4. две параллельные прямые как сечение плоскостью, параллельной асимптоте и проходящей через центр;
5. две пересекающиеся прямые как сечение плоскостью, касательной к горловине;
6. две пересекающиеся прямые как сечение плоскостью, касательной к произвольной точке поверхности.

Общие закономерности пересечения поверхностей второго порядка (квадрик)

Пересечение поверхностей второго порядка, одноименное (напр., конус + конус) или разноименное (напр., конус + цилиндр), обладает общими закономерностями, ранее рассмотренными нами:

1. Линия пересечения в общем случае имеет 4-й порядок.
2. В особых случаях линия пересечения распадается на кривые низших порядков. Возможны четыре варианта особых случаев пересечения: 1+3, 2+2, 1+1+2, 1+1+1+1, где 1 – прямая линия как линия 1-ого порядка, 2 – плоская кривая 2-ого порядка (коника), 3 – кривая 3-его порядка. Порядок линии определяется максимальным показателем степени в уравнении этой линии или максимальным количеством точек пересечения линии с плоскостью.
3. При наличии общей плоскости симметрии линия проецируется на эту плоскость в кривую 2-го порядка.

Дата добавления: 2013-12-14