Линейная парная регрессия

Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего У(т) и мощностью пласта Х(м) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в n = 10 шахтах.

i
xi
yi

Изобразим полученную зависимость точками (графически). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

По расположению эмпирических точек, можно предположить наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между Х и У. Следовательно уравнение регрессии будем искать в виде (3).

Согласно методу наименьших квадратов (МНК) неизвестные параметры b₀ и b ₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений y_i от значений , найденных по уравнению регрессии (3), была минимальной:

= → min (4)

Метод широко используется в статистическом анализе, так как дает хорошие по статистическим свойствам оценки и довольно прост в вычислениях.

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных . Найдем ее частные производные и приравняем к нулю.

Откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

где соответствующие средние определяются по формулам:

; ; ;

Подставляя значение (выразили из первого уравнения системы) в уравнение (3), получим:

или

Коэффициент называется выборочным коэффициентом регрессии (или коэффициентом регрессии) У по Х.

Дата добавления: 2013-12-14