Евклідів простір

В сучасній математиці простір визначається як множина однорідних об’єктів між якими є просторові подібні відношення, тобто можемо вказати кортеж в якому М і відношення А₁…А_n; <M, A₁…A_n>.

Введемо поняття метрики в просторі. Нехай введемо два типи просторів парами М і А, де М – множина об’єктів, А – деякі відношення даної множини.

Означення. Метричним простором називають пару (М, ρ), де ρ – метрика, що визначає відстань між елементами даного простору.

Наприклад. Для будь-яких елементів x, y, z є М

1) ρ(x, y) ≥ 0

2) ρ(x, y) = 0 -> x = y

3) ρ(x, y) = ρ(y, x)

4) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) =

Скалярний добуток розглядається як метрика векторного простору.

Означення. Дійсний лінійний простір L називається евклідовим простором, якщо для будь-яких векторів x і y є L ставиться у відповідність деяка стала, що є наслідком скалярного добутка векторів при чому виконуються аксіоми:

1) x·y = y·x

2) (x+y)·z = x·z+y·z

3) λx·y = λ(x·y)

4) x·x ≥ 0

Евклідів простір позначається через Е.

Довжина або норма вектора – кут між векторами, ортогональність вводяться аналогічно скалярному добутку векторів.

Означення. Нехай e₁, e₂,…e_n є базиси евклідового простору. Говорять, що даний базис називається ортонормованим, якщо виконується умова

0, I ≠ j

e_i·e_j = δ_ij =

1, i = j

де, δij називається символом Кронекера.

Теорема. У великому евклідовому n-вимірному просторі існую ортонормований базис.

Алгоритм побудови ортонормованого базису:

1. Нехай в n-вимірному векторному просторі задано довільний базис g₁, g₂,…g_n. Перехід до ортонормованого базису f₁, f₂, …f_n виконується за формулами:

f₁ = g₁

fk = gk+ f₁, k = 2…n

=; I = 1, k – 1

2. Перехід від ортогонального базису f₁, f₂, …f_n до ортонормованого e₁, e₂,…e_n відбувається за формулою:

e₁ =, I = 1,n

Процес побудови за заданим базисом ортогонального вектора називається ортогоналізацією.

Приклад. Дано 3-х вимірний евклідів простір Е з базисом:

g₁ (1; -1; 1);

g₂ (2; -3; 4);

g₃ (2; 2; 6).

Побудувати ортогональний базис.

1) f₁ = g₁ = (1; -1; 1)

f₂ = g₂+α₁²f₁

α₁⁽²⁾ = = = = -3

f₂ = (2; -3; 4)+(-3)·(1; -1; 1) = (-1; 0; 1)

f₃ = g₃ + α₁⁽³⁾f₁+α₂⁽³⁾, де α₁⁽³⁾ =, α₂⁽³⁾ =

α₁⁽³⁾ = -

α₂⁽³⁾ = - = -2

f₃ = (2; 2; 6)-2(1; -1; 1)-2(-1; 0; 1) = (2-2+2;2+2+0;6-2-2) = (2; 4; 2)

2) Нормуємо вектори f₁, f₂, f₃. Для цього знаходимо довжину векторів:

|f₁| =

|f₂| =

|f₃| = 2

Тоді

е₁ = = (

e₂ = = (-

е₁ = = (

3) Зробимо перевірку. Для цього розглянемо скалярні добутки векторів, якщо індекси векторів різні, то добуток векторів дорівнює 0, якщо однакові то 1.

(е₁, е₁) = (

(е₂, е₂) = -

(е₃, е₃) = +

Вектори е₁, е₂, е₃ складають ортонормований базис.

Дата добавления: 2013-12-14