Частинні випадки визначників

1) Визначник Вардермонда має вид:

1 х₁ х₁² х₁³ х₁ⁿ

1 х₂ х₂² х₂³ х₂ⁿ

J_n = …………………

.…………………

1 х_n х_n² х_n³ х_nⁿ

Обчислюється за формулою: J_n = (х₂- х₁)(х₃- х₁)…..(х_n- х₁)(х₃- х₂)(х₄- х₂)…..(х_n- х₂)….(х_n- х_n-1)=П(х_і- х_к)

1<k<i<=n;

Загальний визначник Вандермонда має вид:

a₁^B1 a₁^B2….. a₁^Bn

a₂^B1 a₂^B2….. a₂^Bn

J_n = ………………….

a_n^B1 a_n^B2….. a_n^Bn

де a_i>0, а B_i є R

Якщо хоча б одна пара чисел B_i або a_i рівні, то визначник дорівнює нулю.

2)Визначник Якобі.

Означення: Визначником Якобі називають визначник виду:

a₁ b₁ 0 0 …… 0 0

J_n = -c₂ a₂ b₂ 0..…... 0 0

0 -c₃ a₃ b₃…….0 0

…………………………

0 0 0 0……-c_n a_n

Розкладаючи по останньому рядку отримаємо рекурентне співвідношення: J_n= a_n J_n-1 + b_n-1C_nJ_n-2

Приклад

Обчислити визначник:

5 3 0 0 ……… 0 0 5 3 0 …… 0 0 3 0 0 ….0 0

2 5 3 0 ……….0 0 2 5 3 …… 0 0 2 5 3 ….0 0

J_n = 0 2 5 3 ……….0 0 = 5(-1)² ………………….. +2(-1)³ ………………. = 5 J_n-1-6 J_n-2

………………………. 0 0 0 ……. 2 5 0 0 0 …. 2 5

0 0 0 0 ……….2 5

5 J_n-1-6 J_n-2 = J_n

J_n-2 =1

J_n-1 =r

J_n =r

5r-6=r²

r²-5r+6=0

r₁=2

r₂₌₃

r_n=C_1*2ⁿ+C_2*3ⁿ

r₁₌J₁=5

5 3

r₂=J₂ = 2 5 = 25-6=19

r₁= C_1*2+C_2*3=5

3_*15-2_*7=45-14=31

R₂=C_1*14+C_2*9=0

C₁=

10-6C₂+9C₂=19

C₂=3

C₁=-2

R_n=J_n²= -2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹

Дата добавления: 2013-12-14