Правила дифференцирования

Лекция 16. Правила и формулы дифференцирования.

♦ Теорема 16.1. Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и частное, причём:

а) ; б) ; в) при .

Доказательство. а) Рассмотрим функцию . Её приращение

.

Следовательно, отношение примет вид , и , то есть . ■

б) Обозначим . Тогда

Следовательно,

Здесь мы воспользовались теоремой 15.1: если функция имеет в точке производную, то она непрерывна в этой точке, то есть . Таким образом, . ■

в) Обозначим . Тогда

Таким образом,

.

Искомые пределы , , , поэтому , и окончательно . ■

☼ Замечание 16.1. Если , где C – постоянная, то :

.

Таким образом, постоянный множитель можно выносить за знак производной. ☼

Дата добавления: 2013-12-13