Теорема о производной обратной функции

Доказательство.

, ,

, . ■

J Пример 16.1. Найти , .

найдём по теореме 16.1 как производную отношения двух функций в точке :

при ,

откуда .

найдём по определению 15.1:

. J

♦ Теорема 16.3. Пусть функция строго монотонна и непрерывна на интервале , содержащем точку . Пусть в точке она имеет конечную и отличную от нуля производную . Тогда для обратной функции в соответствующей точке тоже существует производная, равная .

Доказательство. Придадим значению произвольное приращение . Тогда функция , обратная к функции , получит приращение . При ввиду строгой монотонности и . Следовательно,

. (16.1)

В силу непрерывности функции при и . Но тогда знаменатель правой части (16.1) стремится к пределу . Следовательно, существует предел и левой части равенства (16.1). Получаем, что . ■

Дата добавления: 2013-12-13