Производная сложной функции

Таблица производных.

№			№
1.			10.
2.			11.
3.			12.
4.			13.
5.			14.
6.			15.
7.			16.
8.			17.
9.			18.

♦ Теорема 16.5. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причём

. (16.2)

Доказательство. Дадим аргументу приращение . Оно вызовет приращение функции : , которое, в свою очередь, вызовет приращение функции : . Так как функция дифференцируема в точке , то её приращение представимо в виде:

, (16.3)

где – бесконечно малая функция при .

Доопределим функцию в точке : . Тогда формула (16.3) будет верна для всех из некоторой окрестности нуля.

С другой стороны, функция дифференцируема в точке и, следовательно, , и при (а вместе с и ). Таким образом,

Здесь ,

.

Следовательно, функция дифференцируема в точке и её производная

. ■

J Пример 16.2. Найти производные функций.

1) ; .

2) ; . J

Дата добавления: 2013-12-13