Решение. Определяем из чертежа в масштабе главные моменты инерции и угол поворота главных осей (с помощью транспортира):

Пример 13.

Рис.3

Определяем из чертежа в масштабе главные моменты инерции и угол поворота главных осей (с помощью транспортира):

см⁴; см⁴; .

Графический метод показал хорошее совпадение с результатами аналитического расчета.

Для сечения, составленного из швеллера №20а, равнобокого уголка (80х80х8)×10^-9 м³ и полосы (180х10)×10^-6 м² (см. рис.) требу­ется:

1. Найти общую площадь сечения;

2. Определить центр тяжести составного сечения;

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сече­ния относительно осей, проходящих через его центр тяжести;

4. Найти положение главных центральных осей инерции;

5. Определить величины главных центральных моментов инер­ции сечения и проверить правильность их вычисления;

6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

1. Определение общей площади составного сече­ния. Общая площадь составного сечения определяется по фор­муле:

, А = (25,2 + 12,3 + 18)×10^-4 = 55,5×10^-4 м².

2. Определить центр тяжести составного сече­ния. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси x_шв и y_шв, проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

м, м.

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих че­рез его центр тяжести. Для определения указанных момен­тов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выра­жающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

(1)

(2)

(3)

В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (см. рис.), в рассматриваемом случае будут равны:

м, м;

м;

м.

Подставив числовые значения величин в формулы (1) и (2), получим:

= [1670 + 25,2×(-1,7)² + 73,4 + 12,3×(-9,43)² + 1,5 + 18×(8,8)²]×10^-8 = 4305,4×10^-8 м⁴.

= [139 + 25,2×(1,42)² + 73,4 + 12,3×(-3,13)² + 486 +18×(0,14)²]×10^-8 = 870,1×10^-8 м⁴.

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а

,

где - угол между осью x и главной осью уголка. Этот угол может быть положительным или отрицатель­ным. В нашем примере = +45°, поэтому:

м⁴.

Далее, подставив числовые значения в формулу (3), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0 + 25,2 × (-1,7) × 1,42 + 42,85 + 12,3 × (-9,43) (-3,13) + 0 + 18 × 8,8 × 0,14] ×10^-8 = 367,2×10^-8 м⁴.

4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции и определим по формуле:

.

Так как угол получился отрицательным, то для отыскания по­ложения главной оси максимального момента инерции u следует ось , осевой момент инерции относительно которой имеет наи­большее значение, повернуть на угол по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендику­лярна оси u.

5. Определить величины главных центральных мо­ментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1-ая проверка: ;

I _max + I _min = (4344,55 + 830,95)×10^-8 = (5175,5)×10^-8 м⁴;

= (4305,4 + 870,1)×10^-8 = (5175,5)×10^-8 м⁴.

2-ая проверка: ;

4344,55 ×10^-8 > 4305,4×10^-8 > 870,1×10^-8 > 830,95×10^-8 м⁴.

Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычис­ления моментов инерции составного сечения.

6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам:

Дата добавления: 2013-12-13