Затухающие колебания

Во всех предыдущих рассуждениях не учитывали силы трения. Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Формально и в этом случае уравнение смещения можно записывать в виде: , но А будет уменьшаться со временем, т.е. .

Силы трения, как известно, зависят от скорости тела. Предположим, что f_ТР = αv (линейная зависимость), где α -коэффициент сопротивления. Колеблющаяся материальная точка будет непрерывно терять энергию в количестве равном работе сил трения. Уравнение движения ее запишется:

ma = - kx - αv

Постановкой можно показать, что это уравнение удовлетворяется решением , если А уменьшается со временем по экспоненциальному закону , где А₀ – амплитуда при t= 0

Если записать выражение для амплитуды через (n -1) период:

и через n периодов:

то их отношение даст величину:

не зависящую от n. Это отношение характеризует степень (величину) уменьшения последующей амплитуды по сравнению с предыдущей.

Для удобства быстроту затухания обычно характеризуют логарифмическим декрементом затухания:

Затухание колебаний происходит тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления, чем меньше масса и чем больше период колебаний.

Период затухающих колебаний отличается от периода свободных колебаний.

В лекции 8 было показано, что период свободных колебаний:

При малом сопротивлении Т мало отличается от Т₀, а при колебания не могут возникнуть. В этом случае говорят, что тело, выведенное из положения равновесия, апериодически возвращается к нему.

Дата добавления: 2014-01-04