Несобственный интеграл с единственной особенностью

Выражение

. (26.2)

будем называть интегралом с единственной особенностью в точке b, если выполняются следующие условия: если b – конечная точка, то функция интегрируема на при любом , удовлетворяющем , и, кроме того, неограничена в окрестности точки b. Если же , то про функцию предполагается, что она интегрируема на при любом конечном .

Подобным образом определяется интеграл с единственной особенностью в точке a. Теперь b – конечная точка. Если точка тоже конечна, то в окрестности точки a неограничена и интегрируема на любом отрезке , где . Если же , то функция предполагается интегрируемой на для любого .

Для определённости будем рассматривать интеграл (26.2) с единственной особенностью в точке b, конечной или бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интеграла с единственной особенностью в точке a.

♦ Теорема 26.1. Пусть задан интеграл (26.2) с единственной особенностью в точке b. Для его существования необходимо и достаточно выполнение условия Коши: :

, . (26.3)

Доказательство. Рассмотрим функцию . Существование интеграла (26.2) эквивалентно существованию предела , что, в свою очередь, эквивалентно выполнению условия Коши: , где : для всех и , удовлетворяющих . Но . ■

Дата добавления: 2014-01-04