Свойство потенциального поля

Потенциальное поле может быть задано одной скалярной функцией- его потенциалом, тогда как любое векторное поле требует задания трех скалярных функций- проекций вектора по оси координат.

Циркуляция в потенциальном поле по любому замкнутому контуру равна 0.

, так как

Если рассматривать вектор как вектор силы, действующей в потенциальном поле, то получим, что в данном поле работа по любому замкнутому контуру равна 0.

В потенциальном поле криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциальной функции в конечной и начальных точках этого пути:

.

Пример 4

Проверить, будет ли векторное поле потенцируем?

Решение:

Используем признак потенциального поля. Вычислим

. Поле потенциальное.

Определение:

Непрерывное в области векторное поле называется соленоидным в этой области, если для любой ограниченной области с кусочно гладкой границей его поток через эту границу равен 0.

Теорема:

Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидным в области , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области выполнялось: (1)

Доказательство:

1 Необходимость. Пусть поле - соленоидально в и точке . Так как точка - внутренняя для , то все достаточно малые по диаметру шары с центром в этой точке содержатся вместе с их границами в . В силу соленоидальности поля для этих шаров имеет место равенство: , а следовательно,

2 Достаточность. Если выполняется условие , то для любой области с кусочно гладкой границей в силу формулы Остроградского- Гаусса имеем:

Дата добавления: 2014-01-04