Уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(32.10)

Если левая часть этого уравнения – полный дифференциал

(32.11)

некоторой функции u(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах.

Для того, чтобы убедиться, что уравнение (32.10) является уравнением в полных дифференциалах, сравним (32.10) и (32.11). В результате получим

Взяв частные производные от М по y, а от N по x и применив теорему о независимости смешанной производной от последовательности дифференцирования, найдем

(32.12)

условие принадлежности (32.10) к уравнениям в полных дифференциалах. Таким образом, решение уравнения (32.10) нужно начинать с проверки условия (32.12).

Пусть условие (32.12) выполняется, тога уравнение (32.10) можно записать в виде , и его общий интеграл т.е. все сводится к нахождению функции u(x,y). Для этого про интегрируем выражение от до x:

Полученное выражение про дифференцируем по y:

и воспользуемся условием (32.12)

откуда Интегрируем полученное выражение от до y:

(32.13)

На основании (32.13) получаем полный интеграл уравнения в полных дифференциалах:

(32.14)

Пример

Найти общее решение уравнения

Решение.

Проверяем выполнение условия (32.12):

после чего на основании (32.14) имеем:

откуда общий интеграл имеет вид

Дата добавления: 2014-01-04