С двумя неизвестными

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ

УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

ВВЕДЕНИЕ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Лекция 37.

Проблема численного решения линейных уравнений интересует математиков уже несколько столетий. Первые математические результаты появились в XVIII веке. В 1750 году Г. Крамер (1704-1752) опубликовал свои труды по детерминантам квадратных матриц и предложил алгоритм нахождения обратной матрицы, известный как правило Крамера. Гаусс в 1809 году опубликовал работу, посвященную движению небесных тел, в которой был изложен метод для решения линейных систем, известный как метод исключения.

В 40-х годах XX века с появлением компьютеров сильно возрос интерес к численным методам. Тогда же началось активное исследование существующих методов для их реализации на ЭВМ и предпринимались активные попытки увеличить их точность.

Вплоть до 80-х годов решение вычислительных задач было ограничено ресурсами ЭВМ, поэтому особое значение придавалось экономичности алгоритмов.

В настоящее время ограничения по оперативной памяти и быстродействию ЭВМ потеряли актуальность в связи с появлением относительно дешевых мини- и суперкомпьютеров.

Целью статьи является краткое изложение в идейном плане некоторых прямых и итерационных методов решения линейных систем. Для облегчения чтения статьи в приложении даются краткие сведения по векторному и матричному анализу, необходимые для понимания работы.

Уравнение вида ax - b = 0, где a и b - выражения, зависящие только от параметров, а x - неизвестное, называется линейным относительно x. Это уравнение приводится к виду ax = = b и при a? 0 имеет единственное решение x = b / a при допустимом множестве значений параметров.

При a = 0 и b = 0 имеем: x - любое число, x k R.

При b? 0 и a = 0 решений нет, x k.

Пример. (k 2 - 1)x = 2k 2 + k - 3. Это уравнение линейно относительно x и имеет смысл при любых действительных значениях параметра k. Оно приводится к виду

(k - 1)(k + 1)x = (2k + 3)(k - 1).

При k = 1 его решением является любое действительное число, x k R. При k = -1 уравнение имеет вид 0 " x = - 2, то есть не имеет решений; x k.

Уравнение имеет единственное решение при k???1:

Линейной системой двух уравнений с двумя неизвестными называется система вида

Для решения таких систем применяются метод подстановки, метод линейного преобразования и правило Крамера [1-5].

Метод подстановки основан на равносильности систем уравнения

(Системы уравнений равносильны, если множества их решений совпадают.)

Пример 37.1.

Решить систему уравнений

Данная система равносильна системе

Отсюда следует, что исходная система равносильна системе

После тождественных преобразований получаем x = 1, y = 2. Следовательно, исходная система имеет единственное решение (1; 2).

Метод линейного преобразования системы основан на утверждении о равносильности систем уравнений

Пример 37.2.

Решить систему уравнений

Умножив первое уравнение на 2, получим систему

Складывая первое и второе уравнения, получим систему, равносильную исходной:

Отсюда получаем, что исходная система имеет единственное решение (1; 1).

Правило Крамера для нахождения решения системы (1) основано на вычислении соответствующих определителей [4]

Здесь предполагается, что D? 0. В этом случае система (1) имеет единственное решение.

Пример 37.3.

Решить систему уравнений

По правилу Крамера имеем

В общем случае при решении двух линейных уравнений (1) возможны три ситуации:

J система имеет единственное решение; это имеет место при

J система имеет бесконечно много решений. В этом случае

J система не имеет решений. Указанный случай имеет место при

Заметим, что приведенные пропорции имеют смысл и в том случае, когда некоторые из знаменателей равны 0.

Пример 37.4.

Решить систему уравнений

Разделив второе уравнение на 3, получим систему, равносильную исходной:

Полученная система состоит из двух одинаковых уравнений. Положим x = p, где p k R. Тогда y = 3 - p. Следовательно, решениями исходной системы являются все пары чисел вида (p; 3 - p), p k R.

Пример 37.5.

Решить систему уравнений

Равносильная система имеет вид

Эта система противоречива, то есть исходная система решений не имеет.

Ответ: x k, y k.

Дата добавления: 2014-01-04