Если степенной ряд (41.1.) сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, при всяком , для которого

Первая теорема Абеля.

В терминах геометрии это предложение Абеля может быть форму­лировано так: если степенной ряд (41.1.) сходится в точке , то он абсолютно сходится во всякой точке, лежащей внутри окруж­ности с центром в нулевой точке, проходящей через точку (Рис. 41.1.)

Рис. 41.1.

Вследствие условия ряд сходится, и, следовательно, . Последнее равенство показывает, что точки, изображающие числа , лежат в некоторой окрестности нулевой точки, т. е., каково бы ни было , имеем:

, (41.2.)

где — постоянное положительное число.

Перепишем данный ряд (41.1.) в виде

и заметим, что в силу (41.2.) будет: , где , причем , так как по условию . Итак, модули всех членов данного ряда (41.1.) меньше соответствующих членов геометрической прогрессии

Так как знаменатель этой прогрессии , то она сходится и, следовательно, сходится ряд, составленный из модулей членов дан­ного ряда; отсюда следует абсолютная сходимость самого данного ряда (41.1.).

Дата добавления: 2014-01-04