Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Вероятностные характеристики наиболее распространенных потоков событий


Для формального определения потока событий целесообразно привести ряд определений.

Определение 1. Поток событий { tk, k>1 } на интервале времени [0, ∞] представляет, собой неубывающую последовательность случайных мо­ментов t1, t2, t3, …, tk, ..., поступления заявок в систему (рис. 6).

Рис.6

 

Поток событий по существу представляет случайный процесс x(t), при­нимающий целочисленные значения, равные числу заявок, поступивших за ин­тервал времени [0, t].

Существуют два способа задания потока событий:

первый способ предполагает задание совместной функции распреде­ления для интервалов времени между соседними моментами поступления заявок τi:

;

второй способ связан с заданием совместного закона распределения для числа заявок, поступивших в различные интервалы времени. Для этого необходимо задать интервалы времени:

и определить числа xi, - это количество заявок, поступивших в интервале

.

Тогда совместный закон распределения

.

Определение 2. Простейший поток - это поток событий, обладаю­щий такими свойствами, как ординарность, стационарность, отсутствие после­действия.

Ординарность состоит в том, что вероятность поступления двух зая­вок за бесконечно малый промежуток времени Δt стремится к нулю, т.е

.

Стационарность характеризует неизменность его свойств во време­ни и определяется тем, что количество заявок потока, поступивших в интервале
времени [Тi-1, Тi:), не зависит от расположения этого интервала на временной
оси, а зависит от длительности этого интервала. Отсутствие последействия состоит в том, что количество заявок потока, поступивших в интервале
[Тi-1, Тi:), не зависит от количества заявок, поступивших в интервале времени
[Тi, Тi+1:). Иначе отсутствие последействия отражает независимость случайных величин х1, х2, ..., хi, ..., хk, …,(рис. 7).

Рис.7

 

Для простейшего потока событий справедлива следующая формула:

,

где Pn(Т) - вероятность того, что за время t наступит n событий; λ - интенсив­ность потока или количество заявок, поступающих в единицу времени λ = N/T; N - число заявок; T- интервал времени.



За время Г можег поступить от 0 до ∞ заявок, т.е. 0 < п< ∞.

Покажем, что следующий перечень событий:

за время Т не наступает ни одного события;

за время Т наступает одно событие;

за время Т наступает два события;

за время Т наступит бесконечное число событий - образуют полную группу событий.

Для этого необходимо доказать, что

.

Очевидно, что

.

Определим математическое ожидание количества событий за время Т, т.е. среднее число событий:


Таким образом, М = λТ.

Другой способ вычисления среднего числа события для пуассоновского потока событий основан на использовании аппарата производящих функ­ций.

Если задана последовательность Р1, ..., Рn, ..., то производящей

функцией P(z) является:

,

где z - комплексная переменная.

Тогда

.

Определим выражение для плотности распределения длительности интервала между соседними событиями в простейшем потоке событий (рис. 8).

 

 

Рис.8


Все случайные величины τi, имеют одинаковую плотность распределе­ния. Найдем функцию распределения для случайной величины τ:

,

где P0(t) - вероятность того, что за время t не произойдет ни одного события;

1 - P0(t) - вероятность того, что за время t произойдет хотя бы одно событие.

Подставляя в выражение для пуассоновского потока n=0, получим

,

тогда

.

Плотность распределения длительности интервала между соседними событиями:

.

Средняя длительность интервала между соседними событиями или мате­матическое ожидание случайной величины τ может быть определено с помощью аппарата преобразования Лапласа-Стилтьеса. Известно, что преобразование Лапласа-Стилтьеса f(s) для плотности распределения вероятности f(t) определяется как

,

где s - комплексная переменная.

Математическое ожидание вычисляется следующим образом:

Используя приведенные соотношения для экспоненциальной плотности распределения f(t) = λеt, получим

.

Тогда математическое ожидание:

.

Пуассоновский поток событий обладает свойствами суперпозиции и раз­ряжения. Свойство разряжения справедливо для пуассоновского потока с интенсивностью λ, в котором с вероятностью δk генерируются заявки k-го типа,

,

и состоит в том, что поток заявок k-го типа также является пуассоновским с интенсивностью δkλ. Свойство суперпозиции справедливо для интегрированного потока, состоящего из k пуассоновских потоков с интенсивностями λk, k = 1,т, и заключается в том, что интегрированный поток также имеет пуассоновское распределение с интенсивностью

.

Дополнительно, вероятность того, что текущая заявка относится к пуассоновскому потоку k-го типа, равна λk. Учитывая, что в потоке Пуассона длительность интервала между соседними событиями распределена по экспоненциальному закону F(t) = 1-еt, то вероятность того, что за бесконечно малое время Δt поступит одна заявка

.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Основные понятия и компоненты систем массового обслуживания | Эрланговский поток событий

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 579; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.006 сек.