Комплесний евклідів простір

Лекція 11

1. Комплексний лінійний простір

2. Перетворення лінійного простору

3. Ортогональність перетворення

4. Перетворення координат при перетворенні базиса

5. Ядро та образ лінійного перетворення

6. Власні значення та власні вектори лінійного простору

Означення. Комплексний лінійний простір L називається унітарним або комплексним евклідовим простором, якщо для будь яких x, y є L ставиться у відповідність число, що називається ермітовим добутком векторів або скалярним добутком у комплексному просторі при чому виконуються наступні аксіоми:

1. (x, y) = (y, x)

2. (x, z) ≤ (x, y) + (y, z)

3. (λx, y) = λ(x, y)

4. (x, x) ≥ 0

Даний простір позначається через V, або V_n – n втмірний унітарний простір.

На відміну від евклідового простору, в унітарному просторі не вводиться кут між векторами.

Означення. R-літів добуток векторів за координатами в ортонормованому базисі знаходиться за формулою.

(x,y) = _i·y_i = XтY = YтX

x = (x₁…x_n); y = (y₁…y_n)

X = x₁ Y = y₁

… …

x_n y_n

Означення. Довжина вектора в даному просторі знаходиться за формулою:

|x| =

Приклад. Вектори а і b задані в двох вимірах унітарного простору V2 в ортонормованому базисі

a = (2, 2-j); b = (3+j, 2)

Знайти довжину вектора а та R-літів добуток (а, b).

1) a = (2, 2-j) => x₁ = 2; x₂ = 2-j

b = (3+j, 2) => y₁ = 3+j; y₂ = 2

|a| = = = = 3

2) (a, b) = x₁y₁+x₂y₂ = 2= 6-2j+4-2j = 10-4j

Висновки:

1) Всі базиси n-вимірного простору рівномірноправні.

2) Даному лінійному оператору в кожному базисі відповідає деяка матриця, а матриці, що відповідають одному й тому ж операторі в різних базисах подібні.

3) За допомогою метрики в n-вимірному просторі можна перейти до унітарного простору, якщо елементи поля комплексні числа і до евклідового, якщо дійсні.

4) По відношенню до метрики простору не всі базиси рівноправні, але всі ортонормовані базиси рівноправні.

Дата добавления: 2014-01-04