Перетворення лінійного простору

Означення. Перетворення ∮ називаєть лінійним, якщо виконуються умови:

1) ∮(α·x) = α∮(x), α = const

2) ∮(x+y) = ∮(x)+∮(y)

Говорять, що ∮(х) є образ вектора х при перетворенні ∮, позначимо його за x’, ∮(x) = x’.

Визначити чи будуть наступні оператори лінійними, якщо:

1) Оператор а – проекція вектора х по вісі ОУ виду Ax = (пр_OYх)j

Розв’язання.

a) A(αx) = (пр_ОУαх)j = α(пр_ОУх)j = αAx

За 3 теоремою про проекцію пр_еka = kпр_ea

b) A(x+y) = (пр_ОУ(x+y))j = (пр_ОУx+пр_ОУy)j = (пр_ОУx)j+пр_ОУy)j = Ax+Ay

Оператор лінійний.

2) Оператор має вид:

Ax = j-3j, де ijk – базис

a) A(αx) – α(i-3j)= αi-3αj = αAx

b) A(x+y) = (i-3j)+(i-3j) = 2j – 6j ≠ Ax+Ay

Висновок. Оператор не лінійний.

3) Встановити чи є перетворення лінійние.

Cx = (1, x₁-x₂+x₃,4x₁-x₂)

Cy = (1, y₁-y₂+y₃,4y₁-y₂)

Cx+Cy = (2, (x₁-x₂+x₃) + (y₁-y₂+y₃), 4x₁-x₂+4y₁-y₂) ≠ (x+y)

Матрицю перетворення А простору називають лінійним оператором.

Розглянемо впорядковану пару чисел (x₁, x₂), її можна розглядати як координати точки М, або як координати радіус-вектора ОМ(х₁, х₂).

Нехай в наслідок перетворення ∮ отримали вектор x’(x₁’, x₂’) і нехай він виходить з перетворенням (2)

x₁’ = a₁₁x₁+a₁₂x₂

x₂’ = a₂₁x₁+a₂₂x₂

Випишемо матрицю коефіцієнтів:

A = a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

|A| ≠ 0

Тоді рівняння (2) запишемо у матричному вигляді:

x₁’ x₁

= A => x’ = Ax

x₂’ x₂

Матриця А – лінійне перетворення.

Розглянемо в які вектори матриця А переводить базисні вектори, для цього

e₁ = (1, 0)

e₂ = (0, 1)

Під дією матриці А координати нового базисного вектору мають вид

a₁₁ a₁₂ 1 a₁₁+0·a₁₂ a₁₁

e1’ = Ae₁ = = =

a₂₁ a₂₂ 0 a₂₁+0·a₂₂ a₂₁

a₁₁ a₁₂ 0 a₁₁·0+a₁₂ a₁₂

e2’ = Ae₂ = = =

a₂₁ a₂₂ 1 a₂₁·0+a₂₂ a₂₂

e₁’ = a₁₁e₁+a₂₁e₂

(3)

e₂’ = a₁₂e₁+a₂₂e₂

Позначимо матрицю коефіцієнтів системи (3) через B

a₁₁ a₂₁

B =

a₁₂ a₂₂

В порівнянні з матрицею А, помічаємо В = А^т. В матриці В стовпці є координатами базисних векторів.

Для знаходження старої системи базисних векторів через нову маємо:

e₁ e₁’

= B^-1 (4) де В^-1 – обернена матриця до В

e₂ e₂’

Дата добавления: 2014-01-04