Поняття ізоморфізму лінійного простору

Перетворенням ∮ можна позначити оператором А і в наслідок його отримали зв’язок між простором V та V'.

Означення. Два простори V та V' називаються ізоморфними, якщо між ними можна установити таку взаємно-однозначну відповідність, що виконуються умови:

1. x+y -> x’+y’

2. αx -> αx’

Означення. Перетворення лінійного простору називається ортогональним, якщо воно в ортонормованому базисі задається ортогональною матрицею.

Властивості:

1) Для ортогональної матриці виконується умова Ат = А^-1

2) Транспонований добуток двох матриць має вид (А·В)т = В^т·А^т

3) Ортогональне перетворення А не змінює скалярний добуток векторів.

Приклад. Знайти матрицю оператора проектування ρ на площину ХОУ, якщо М(x, y, z).

Розглянемо оператор ρ

ρ_i = (1, 0, 0)

ρ_j = (0, 1, 0)

ρ_k = 0

1 0 0

Ρ = 0 1 0

0 0 0

Приклад 2. Знайти матрицю D оператора диференціювання у просторі многочленів степеня ≤ n у базисі 1, t, t2, …t^n-1

Розв’язання.

1) Позначимо базисні вектори

e₁ = 1; e₂ = t; e₃ = t²; … e_n = t^n-1

2) Застосуємо оператор D

De₁ = (1)’ = 0 = (0…0)

De₂ = (t)’ = 1 = 1·e₁ = (1, 0, 0, 0 … 0)

De₃ = (t²)’ = 2t = 2e₂ = (0, 2, 0 … 0)

De_n = (t^n-1)’ = (n-1)t^n-2 = (n-1)e_n = (0 … 0, n-1, 0)

3) Матриця диференціювання має вид (елементи De1 … Den в матриці D запишемо стовпчиками):

D = 0 1 0 … 0

0 0 2 …

… … 0 …

0 0 0 … n-1

0 0 0 … 0

Дата добавления: 2014-01-04