Елементи теорії квадратичних форм

Лекція 14

1) Основні поняття.

2) Метод ортогональних перетворень.

3) Метод Лагранжа.

4) Метод Якобі.

5) Знаковизначені квадратичні форми. Критерій Сільвестра.

Означення. Квадратичною формою n змінних називається однорідний многочлен другого степеня відносно даних змінних, що позначається

L (x₁, x₂, … x_n) = (3), де - сталі, що складають матрицю

a₁₁ … a_1n

A = a₂₁ … a_2n, що задовольняє умову А = А^т

a_n1 … a_nn

Означення. Говорять, що квадратична форма не вироджена коли rgA = n і вироджена коли rgA = n

(4) L (x₁, x₂, … x_n) = X^тAX, X^т = (x₁, x₂, … x_n) – матрична форма.

(5) L (x₁, x₂, … x_n) = (Ax, x) = (x, Ax) – операторна форма.

Говорять, що квадратична форма має канонічний вид коли задовольняє умову

(6) L(x) = – вона завжди діагональна.

Квадратична форма вважається нормальною, якщо всі коефіцієнти, що ≠ 0 по модулю = 1.

Приклад. Квадратична форма задана у вигляді матриці виду:

2 -1 0

А = -1 3 5

0 5 -2

Записати її у вигляді многочлена

L (x₁, x₂, … x_n) = 2x₁²+3x₂²-2x₃²-2x₁x₂+10x₂x₃

L (x₁, x₂, x₃) = X^тAX = 2x₁²+3x₂²-2x₃²-2x₁x₂+10x₂x₃

Теорема. Будь-яка квадратична форма зводиться до канонічного виду.

Існують декілька методів зведення до канонічного виду:

1) Метод ортогональних перетворень.

2) Метод Лагранжа.

3) Метод Якобі.

1. Метод ортогональних перетворень складаэться до зведення матрицы до діагонального виду, а саме:

a) Знаходимо ортогональні власні вектори матриці. Пронормовані вектори дають ортонормований базис в якому матриця А має діагональний вид.

b) Будуємо матрицю переходу Т з векторів ортонормованого базису (розкладаємо їх стовпцями). Матриця переходу ортогональна, якщо виконується умова Т^тр = Т^-1.

c) Перетворення X = TX^-1 => D = Т^тАТ = diag(λ₁ … λ_n)

2. Метод Лагранжа складається в послідовному виділенні квадратів та введенні нової змінної.

Схема:

1) Виділимо повний квадрат і знаходимо матрицю претворення.

2) Звести квадратичну форму до канонічного виду ортогональним перетворенням, відповідає повороту осей координат.

3) Виділити перетворення паралельного переносу.

3. Метод Якобі застосовується коли головні кути квадратичної форми не дорівнюють 0.

Отримаємо коефіцієнт переходу

Α_ij = (-1)i+j, де ∆i-1 – мінор матриці А, що розташований на перетині стовпців цієї матриці з номерами 1, 2 … i-1, i+1, … j i рядків 1, 2 … j-1

Висновок:

1. Зведення до квадратичної форми не є однозначним.

2. Має місце закон інерції квадратичних форм, а саме: всі квадратичні форми до яких зводиться дана квадратична форма має одне і те ж число нульових коефіцієнтів, додатніх та від’ємних коефіцієнтів.

Приклад. Привести квадратичну форму до канонічного виду, знайти власні вектори і матрицю перетворення.

L(x₁, x₂) = 3x₁²+2x₂²+2 x₁x₂ = Ax₁²+2x₁x₂+Bx₂²

1) A = 3, B = 2.

x₁₂ = a₁₂ = 2a₂₁ = 2 => a₁₂ = a₂₁ =

Матриця має вид А =

3 x1

2) L(x₁, x₂) = X^тAX = (x₁, x₂)

2 x2

3) |A-λE| = 0

3-λ

= 0

2-λ

(3-λ)(2- λ)-2 = 0

λ²-5λ+4 = 0

λ₁ = 1, λ₂ = 4

4) Знаходемо власні вектори з системи

(3- λ)x₁- x₂ = 0

x₁+(2-λ)x₂ = 0

x₁ = 1 => 2x₁+ x₂ = 0 |:2 x₁+x₂ = 0 x₂ = x₂

x₁+x₂ = 0 x₁+x₂ = 0 x₁ = - x₂

x₁λ₁ = (1, -

Пропонуємо власний вектор

e₁ = ()

Знайдемо другий власний вектор

λ₂ = 4

-x₁+ x₂ = 0

x₁-2x₂ = 0 |:

-x₁+ x₂ = 0 x₁ = x₂

-x₁+ _x2 = 0 x₂ = x₂

e₂ = (

Запишемо матрицю перетворення Т.

Т = = 1

- 1

5) Ортогональні перетворення, що зводять квадратичну форму до канонічного виду

X = TY

1 y₁ y₁+ y₂

X = =

- 1 y₂ - y₁+y₂

В розгорнутому вигляді

x₁ y₁+ y₂ x₁ = y₁+ y₂

=

x₂ - y₁+y₂ x₂ = - y₁+ y₂

6) Запишемо канонічну форму функції L(x₁, x₂)

L(x₁, x₂) = L(y₁, y₂) = 3((y₁+ y₂))²+2((- y₁+ y₂)²+2 ²(y₁+ y₂)(- y₁+y₂)

Канонічний вигляд має вид

L(y₁, y₂) = λ₁y₁²+ λ₂y₂² = y₁²+4y₂²

diag(1, 4)

7) Розглянемо добуток, тобто зробимо перевірку.

Приклад 2. Дана квадратична форма.

L(x₁, x₂) = 2x₁²+2x₂²+2x₁x₂

Знайти канонічний вид даної фломи, власні вектори та матрицю перетворень.

L(x₁, x₂) = Ax₁²+2x₁x₂+Bx₂²

A = 2, B = 2

x₁₂ = a₁₂ = 2a₂₁ = 2

a₁₂ = 1

2 1

A =

1 2

2 1 x₁

L(x₁, x₂) = X^тAX = (x₁, x₂)

1 2 x₂

|A-λE| = 0

2-λ 1

= 0

1 2-λ

(2-λ)²-1 = 0

4-4λ+λ²-1 = 0

λ² - 4λ+3 = 0

λ₁ = 3, λ₂ = 1

(2-λ)x₁+x₂ = 0

x₁ + (2-λ)x₂ = 0

λ₁ = 3

x₂-x₁ = 0

x₁-x₂ = 0

x₂ = 1

x₁ = 1

x₁λ₁ = (1, 1)

|x₁λ₁| =

e₁ = (

λ₂ = 1

x₁+x₂ = 0

x₁+x₂ = 0

x₂ = x₂

x₁ = -x₂

x₂ = 1

x₁ = -1

x₂^λ2 = (-1, 1)

|x₂^λ2| =

e₂ = (-

T = - 1 -1

=

1 1

1 -1 y₁ y₁-y₂

X = TY = =

1 1 y₂ y₁+y₂

x₁ = (y₁-y₂)

x₂ = (y₁+y₂)

L(y₁, y₂) =3y₁+y₁² = diag (3, 1)

Дата добавления: 2014-01-04