Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

. Операторная схема замещения.

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме.

Рассмотрим, например, последовательный RLC – контур (рис.14.4), находящийся при ненулевых начальных условиях:

Рисунок 14.4

Уравнение равновесия напряжений для этого контура согласно второго закона Кирхгофа имеет вид:

(14.13)

Применив к (14.13) прямое преобразование Лапласа и учитывая свойства линейности (14.4), дифференцирования (14.5) и интегрирования (14.6) оригинала или выражения для напряжений на резистивном (14.8), индуктивном (14.9) и емкостном (14.10) элементах, получим:

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для последовательной цепи:

Если в Z(p) заменить p на jω, то получим комплексное сопротивление цепи.

Величины Li(0) и U_c(o)/p называют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в L и C к моменту коммутации.

Величина, обратная Z(p) называется операторной проводимостью цепи:

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид:

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:

Он гласит: алгебраическая сумма операторных токов в любом узле цепи равна нулю.

Второй закон Кирхгофа в операторной форме:

Он гласит: алгебраическая сумма операторных падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме операторных ЭДС, включенных в этот контур.

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны этим же законам в комплексной форме с той лишь разницей, что в каждой из m ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют дополнительные расчетные источники L_ki_k(0) и –U_ck(0)/p, положительное направление которых совпадает с выбранным положительным направлением тока в этой ветви.

На основе законов Ома и Кирхгофа в операторной форме можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами.

При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и U(t) заменяются соответствующими изображениями I(p) и U(p), индуктивность L заменяется на Lp, а емкость C – на 1/Cp при нулевых начальных условиях.

Если начальные условия ненулевые, то последовательно с Lp добавляется источник напряжения Li(0), а с C – источник напряжения –U_c(0)p (рис.14.2,б и 14.3,б).

Например, эквивалентная операторная схема замещения для цепи, изображенной на рис.14.5,а будет иметь вид (рис.14.5,б).

Рис. 14.5

Применение операторных расчетных схем замещения цепей повышает наглядность и упрощает расчет.

Дата добавления: 2014-01-04