Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения

Определение. Пусть f (x) и g (x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда предикат f (x) = g (x) называется уравнением с одной переменной.

Определение. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения или его решением.

Решить уравнение – это значит найти множество его корней.

Пример. 1) 7 х + 5 = 3 х + 13, х ÎR. Это уравнение обращается в истинное равенство при х = 2, следовательно, множество его решений есть {2}.

2) (х – 3)(х + 3) = 0 – множество решений есть {–3; 3}.

Т.к. уравнение есть предикат, то с каждым уравнением связаны два множества:

1) множество Х допустимых значений переменной (множество определения предиката),

2) множество Т корней уравнений (множество истинности предиката).

Заметим, что Т Ì Х.

Определение. Пусть на множестве Х заданы два уравнения f ₁(x) = g ₁(x) и f ₂(x) = g ₂(x) и известно, что Т ₁ – множество решений первого уравнения (Т ₁ Ì Х), Т ₂ – множество решений второго уравнения (Т ₂ Ì Х). Если Т ₁ = Т ₂, то эти уравнения называются равносильными на множестве Х.

Другими словами: два уравнения называются равносильными на множестве Х, если множества решений этих уравнений, принадлежащих множеству Х, совпадают.

Пример. 1) 3 х + 5 = 4 х + 3 и 2 х + 3 = 7 равносильны на множестве N, т.к. Т ₁ = {2}, Т ₂ = {2},
Т ₁ = Т ₂.

2) (х – 2)² = 3(х – 2) и (х – 2) = 3 не являются равносильными, т.к. Т ₁ = {2; 5}, Т ₂ = {5}, Т ₁ ¹ Т ₂.

Определение. Если множество решений уравнения f ₁(x) = g ₁(x) (1) является подмножеством множества решений уравнения f ₂(x) = g ₂(x) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Другими словами: уравнение (2) есть следствие уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Пример. (х + 2)² = 25 является следствием уравнения х + 2 = 5, т.к. уравнение х + 2 = 5 имеет только один корень 3, подставляя который в уравнение (х + 2)² = 25, получаем истинное равенство (3 + 2)² = 25, показывающее, что 3 удовлетворяет уравнению (х + 2)² = 25.

Два уравнения равносильны в том и только том случае, когда каждое из них является следствием другого.

Теоремы о равносильности уравнений

Теорема 1. Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определенное на том же множестве Х. Тогда уравнения f (x) = g (x) (1) и f (x) + h (х) = g (x) + h (х) (2) равносильны.

Другими словами: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве Х, получим новое уравнение, равносильное данному.

Доказательство. Обозначим через Т ₁ множество решения уравнения (1), Т ₂ – множество решения уравнения (2). Уравнения (1) и (2) равносильны, если Т ₁ = Т ₂, т.е. Т ₁ Ì Т ₂ Ù Т ₂ Ì Т ₁.

1) Докажем, что Т ₁ Ì Т ₂. Пусть а – корень уравнения (1), т.е. а Î Т ₁ и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f (а) = g (а), а выражение h (х) обращает в числовое выражение h (а), имеющее смысл на множестве Х. Прибавим к обеим частям истинного равенства f (а) = g (а) числовое выражение h (а). Согласно свойствам истинных числовых равенств получим истинное числовое равенство f (а) + h (а) = g (а) + h (а), которое говорит о том, что число а есть корень уравнения (2), т.е. а Î Т ₁, следовательно, Т ₁ Ì Т _2.

2) Докажем, что Т ₂ Ì Т ₁. Пусть а – корень уравнения (2), тогда f (а) + h (а) = g (а) + h (а) –истинное числовое равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства числовое выражение – h (а), снова получим истинное числовое равенство f (а) = g (а). Это значит, что а – корень уравнения (1), т.е. а Î Т ₁, следовательно, Т ₂ Ì Т _1.

Т.к. Т ₁ Ì Т ₂ Ù Т ₂ Ì Т ₁ Þ Т ₁ = Т ₂, т.е. уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.

При решении уравнений чаще используются следствия из теоремы.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие 2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на множестве Х и h (х) – выражение, определенное на том же множестве Х и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f (x) = g (x) (1) и f (x) ∙ h (х) = g (x) ∙ h (х) (2) равносильны на множестве Х.

Другими словами: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращающееся на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Доказательство. 1) Докажем, что Т ₁ Ì Т ₂. Пусть а – корень уравнения (1), тогда f (а) = g (а) – истинное числовое равенство. Умножим обе его части на числовое выражение h (а). Получим истинное числовое равенство f (а) ∙ h (а) = g (а) ∙ h (а), которое говорит о том, что число а есть корень уравнения (2), т.е. а Î Т ₁, следовательно, Т ₁ Ì Т _2.

2) Докажем, что Т ₂ Ì Т ₁. Пусть а – корень уравнения (2), тогда f (а) ∙ h (а) = g (а) ∙ h (а) – истинное числовое равенство. Умножим обе части этого равенства на числовое выражение (h (а) существует и нигде не обращается в нуль, следовательно, существует). Получим истинное числовое равенство f (а) = g (а). Это значит, что а – корень уравнения (1), т.е. а Î Т ₁, следовательно, Т ₂ Ì Т _1.

Т.к. Т ₁ Ì Т ₂ Ù Т ₂ Ì Т ₁ Þ Т ₁ = Т ₂, т.е. уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.

Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на множестве Х, f (x) ³ 0, g (x) ³ 0 на множестве Х и п – четное натуральное число. Тогда уравнения f (x) = g (x) и f ^п (x) = g^п (x) равносильны.

Другими словами: при возведении обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение, равносильное данному при условии, что обе части уравнения неотрицательны.

Замечание. Если обе части уравнения возвести в четную степень, то полученное уравнение будет следствием исходного. Если п нечетное натуральное число, то уравнения f (x) = g (x) и f ^п (x) = g^п (x) равносильны.

Пример. Равносильны ли уравнения?

1) (4 х + 3) ∙ х = 11 х и 4 х + 3= 11. Нет, т.к. мы разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение, но при х = 0 оно не имеет смысла, т.е. мы не выполнили условие теоремы 2. Т ₁ = {0; 2}, Т ₂ = {2}.

2) (4 х + 3)(х ² + 2) = 11(х ² + 2) и 4 х + 3= 11 равносильны, т.к. х ² + 2 ¹ 0 ни при каких действительных х.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнения является взаимосвязь между компонентами и результатом действий.

Дата добавления: 2014-01-04