Основные методы решения уравнений

1. Линейное уравнение. Линейным уравнением с одной переменной x называется уравнение вида аx + b = 0, где а, b – действительные числа. Это уравнение равносильно уравнению аx = – b.

Для линейного уравнения аx = – b возможны 3 случая:

1) а ≠ 0, уравнение имеет единственный корень х = –;

2) а = 0, b = 0, в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ х = 0, х – любое число, т.е. уравнение имеет бесчисленное множество корней;

3) а = 0, b ≠ 0, получаем уравнение 0 ∙ х = – b, оно корней не имеет.

Пример. х + = 0

По следствию из теоремы 1 оно равносильно уравнению х = –. Разделив обе части этого уравнения на, получим х = –.

2. Квадратное уравнение. Уравнение вида ах ² + bх + с = 0, где а, b, с ÎR, а ≠ 0 называют квадратным уравнением.

Корни уравнения находят по формуле.

Выражение b ² – 4 ас называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если, то уравнение имеет 2 различных действительных корня;

если D, уравнение не имеет действительных корней;

если D, то уравнение имеет 2 равных действительных корня.

3. Неполное квадратное уравнение. Если в квадратном уравнении ах ² + bх + с = 0 b = 0 или
с = 0, то квадратное уравнение называют неполным. Для нахождения корней такого уравнения можно воспользоваться методом разложения на множители.

Пример 1. 2 х ² – 5 х = 0

х (2 х – 5) = 0

х = 0 или 2 х – 5 = 0

х =

Ответ:;

Пример 2. 2 х ²– 8 = 0

х ² – 4 = 0

(х – 2)(х + 2) = 0

х = 2, х = –2

Ответ: {2; –2}

4. Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение х ² + pх + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна – p, а произведение равно q, т.е.

х ₁+ х ₂ = – p

х ₁ ∙ х ₂ = q

Пример. х ² – 9 х + 14 = 0

х ₁+ х ₂ = 9

х ₁ ∙ х ₂ = 14

Такими числами являются числа 2 и 7

Ответ: {2; 7}

5. Уравнение с переменной в знаменателе.

= 0

Решение уравнения такого вида основана на следующем утверждении: 0, тогда только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Уравнение такого вида равносильна системе:

Пример. =0 Û 3 х – 6 = 0,

х ² – х – 2 0

Решая первое уравнение, получаем, что х = 2. При этом значении знаменатель х ² – х – 2 обращается в нуль, следовательно, данное уравнение корней не имеет.

6. Уравнение f (x) = g (x) называется рациональным, если f (x) и g (x) рациональные выражения. Уравнение вида равносильно системе

Пример.

Решим уравнение. x ₁=2; x ₁=4.

Проверим, не обращают ли найденные значения переменной х знаменатель в нуль.

(2 – 2) ∙2 ∙ 2 ¹ 0 – ложь, (2 – 4) ∙2 ∙ 4 ¹ 0 – истина.

Ответ:

7. Решение уравнения)=0. Методом разложения левой части на множители.

Пусть надо решить уравнение) = 0, где) многочлен степени n. Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: р (х) = р ₁(х) ∙ р ₂(х) ∙ … ∙ р_п (х).

Тогда уравнение примет вид р ₁(х) ∙ р ₂(х) ∙ … ∙ р_п (х) = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, следовательно данное уравнение выглядит равносильно совокупности р ₁(х) = 0 Ú р ₂(х) = 0 Ú … Ú р_п (х) = 0.

Пример.

x ³ + 2 x² + 3 x + 6 = 0

(x ³+3 x) + (2 x ² + 6) = 0

х (x ² + 3) + 2(x ² + 3) = 0

(х +2) ∙ (x ² + 3) = 0

х + 2 = 0,

x ² + 3 = 0. Из первого уравнения находим, что х = –2, второе уравнение корней не имеет.

Ответ:

8. Решение уравнений методом введения новой переменной.

Суть этого метода покажем на примере.

Пример. (х ² – 3 х)² + 3(х ² –3 х) –28 = 0

Положим, что х ² – 3 х = у, тогда получим уравнение у² + 3 у – 28 = 0, откуда у ₁= –7, у ₂ = 4.

Задача сводится к решению двух уравнений х ² – 3 х = – 7 и х ² – 3 х = 4.

У первого уравнения дискриминант меньше нуля, поэтому оно корней не имеет; корни второго уравнения 4 и – 1.

Ответ: {4; – 1}.

9. Биквадратное уравнение.

Биквадратным называется уравнение вида ах ⁴ + bх ² + с = 0, где а.

Решается такое уравнение методом введения новой переменой х ² = у.

Пример.

х ⁴ + 4 х ² – 21 = 0

Введем новую переменную х ² = у. Получим уравнение у ² + 4 у – 21 = 0

у ₁ = –7, у ₂ = 3.

Вернемся к переменной х.

Получим х ² = –7 (уравнение корней не имеет), х ² = 3 (х ₁ =, х ₂ =,

Ответ: { }

10. Графическое решение уравнений.

Строит график функции у = f (x) и находят точки пересечения графика с осью абсцисс. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения.

Дата добавления: 2014-01-04