Системы и совокупности уравнений

Уравнения с двумя переменными

Определение. Предикат вида f (x; y) = g (x; y) называют уравнением с двумя переменными.

Определение. Пара чисел (а; b), обращающая уравнение f (x; y) = g (x; y) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар – множеством решений этого уравнения.

Например, пара чисел (8; 4) является одним из решений уравнения х – у = 4. Но это уравнение имеет и другие решения, например, (9; 5), (12; 7) и др. Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т.е. множество, состоящее из всех пар чисел (а; b), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство.

Пару чисел (а; b) можно изобразить на плоскости точкой М (а; b). Рассматривая изображения всех точек множества решений уравнения с двумя переменными, получим некоторое подмножество точек плоскости. Его называют графиком уравнения. Обычно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений, а поэтому его график содержит бесконечно много точек. Чтобы построить их, прибегают к геометрическому способу описания.

у

Пример. у – х = 2. Т = {(х; х + 2)½ х Î R }.

х

-2

Определение. Два уравнения с двумя переменными, имеющие одинаковые графики, называются равносильными.

Например, уравнения 3 х + 2 у = 10 и 6 х + 4 у = 20 равносильны, т.к. любая пара чисел, удовлетворяющая одному из них, удовлетворяет и другому.

Легко доказать следующие теоремы (аналогичные для уравнений с одним неизвестным).

Теорема 1. Если выражение h (х; у) определено для всех значений х и у из области определения уравнения f (x; y) = g (x; y) (1), то уравнение (1) равносильно уравнению f (x; y) + h (х; у) =
= g (x; y) + h (х; у) (2).

Теорема 2. Если выражение h (х; у) определено для всех значений х и у из области определения уравнения f (x; y) = g (x; y) (1) и нигде не обращается в нуль, то уравнение (1) равносильно уравнению f (x; y) ∙ h (х; у) = g (x; y) ∙ h (х; у) (2).

Определение. Системой двух уравнений с двумя переменными называется конъюнкция этих уравнений. Записывается (1)

Решением системы (1) является пара чисел (а; b), при подстановке которых соответственно вместо х и у оба уравнения системы становятся истинными числовыми равенствами.

Множество всех таких пар является множеством решения данной системы.

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

Система уравнений есть конъюнкция этих уравнений. Множеством истинности конъюнкции двух предикатов является пересечение множеств истинности этих предикатов. Следовательно, множеством решений системы уравнений является пересечение множеств решений каждого из уравнений.

Пример. Þ

2 y = –6 Þ y = –3.

х = 8 + (–3) = 5.

Ответ: {(5; –3)}.

Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения, т.е множества их решений совпадают.

Замечание. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными.

При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой, но равносильной первоначальной.

Теорема 1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменений, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то получится система, равносильная данной.

Следствие. Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.

Теорема 2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна данной.

Определение. Совокупностью двух уравнений с двумя переменными называется дизъюнкция этих уравнений. Записывается: (2)

Множеством истинности дизъюнкции двух предикатов является объединение множеств истинности этих предикатов. Следовательно, множеством решений совокупности уравнений является объединение множеств решения каждого из уравнений.

Решением совокупности (2) является пара чисел (а; b), при подстановке которых соответственно вместо х и у хотя бы одно уравнение совокупности обращается истинное числовое равенство.

Пример.

Т ₁ = {(5; –3)}, Т ₂ = {(2; 5), (5; 2)} Þ Т = {(5; –3), {(2; 5), (5; 2)}

Понятие системы и совокупности уравнений можно распространить на любое число уравнений и переменных.

Дата добавления: 2014-01-04