Пример 3.3.6

1. Для " z Î Z \{0} ord (z) = ¥ в (Z, +), поскольку при " n Î N n × z ¹ 0.

2. Для всех ord () = ord () = n /(k, n) в (Z / n Z, +) и в C_n. ·

Теорема 3.3.3. Пусть элемент a Î G обладает свойством: ord (a) = n для некоторого n Î N. Тогда < a > = {} – циклическая подгруппа группы G, имеющая порядок n.

Пусть H = {}, тогда | H | = n, так как ord (a) = n.

< a > = {} = { a^z | z Î Z }. Очевидно, H Í < a >.

Рассмотрим " z Î Z. Если , то a^z Î H. Если или , то по теореме 1.1.1 существуют такие q, r Î Z, где , что , поскольку . Значит, < a > Í H.

Итак, H = < a > – циклическая подгруппа, порожденная элементом a.

Теорема 3.3.4. Всякая подгруппа H циклической группы G является циклической.

Пусть G = < a >.

1. H = { e } Þ H = < e >.

2. H ¹ { e }. Для " b Î H $ m Î Z такой, что b = a^m, так как H £ G и G = < a >. Поскольку H £ G, a ^{– m} Î H. Таким образом, в H содержатся некоторые степени элемента a с натуральными показателями. Из всех таких показателей выберем наименьший. Пусть это будет d Î N. Докажем, что H = < a^d >.

< a^d > Í H, так как a^d Î H, и поскольку H £ G, то a^dz Î H для " z Î Z.

Рассмотрим теперь " h Î H. h = a^s = a^{dq + r}, где q, r Î Z, 0 £ r < d, согласно теореме 1.1.1, поскольку s Î Z. Тогда a^r = a ^{– dq} · h Î H, так как a ^{– dq}, h Î H. Если r ¹ 0, то r < d и степень элемента a с меньшим натуральным показателем, чем d, принадлежит H, что приводит к противоречию. Значит, r = 0 и для некоторого q Î Z h = a^dq Î < a^d >. Поэтому H Í < a^d >.

Итак, H = < a^d > – циклическая подгруппа группы G.

Обозначим E_n единичную квадратную матрицу порядка n Î N.

Пример 3.3.7. Рассмотрим матрицу Î SL ₂(Z). Здесь , ,…, таким образом, при " n Î N. Степени матрицы A попарно различны и образуют бесконечную последовательность. Следовательно, ord (A) = ¥ и циклическая подгруппа < A > = { A^z | z Î Z }, порожденная матрицей A, в группе SL ₂(Z) является бесконечной.

, ,…, для " n Î N. Таким образом, при " z Î Z. ·

Пример 3.3.8. Матрица Î SL ₂(Z) имеет степени , , . Поэтому ord (B) = 4 в группе SL ₂(Z). Согласно теореме 3.3.3 подгруппа < B > = { B, B ², B ³, B ⁴ = E ₂} является конечной подгруппой порядка 4 в группе SL ₂(Z). ·

Отметим, что чаще группы не являются циклическими. Например, все некоммутативные группы не могут быть циклическими. Циклическими не являются группы, заданные на несчетных множествах, например, (R, +), (C, +), (R ^*, ×) и (C ^*, ×).

Пример 3.3.9. Несмотря на то, что Q ^* «Q «Z, абелевы группы (Q, +) и (Q ^*, ×) также не цикличны. Ведь для каждого фиксированного q = m / n Î Q ^*, где m Î Z, n Î N, (m, n) = 1, подгруппа < q > = {0, ± m / n, ± 2 m / n, ± 3 m / n,…} не содержит рациональных несократимых дробей r / s при Î Z, s Î N _{> n}, следовательно, < q > ¹ Q. А подгруппа < q > = {1, (m / n)^{± 1}, (m / n)^{± 2}, (m / n)^{± 3},…} не содержит r / s Î Q ^*, где Î Z, s Î N _>1, (r, s) = 1 и (s, n) = (s, m) = 1, следовательно, < q > ¹ Q ^*. ·

§3.4. Смежные классы. Теорема Лагранжа.

Дата добавления: 2014-01-04