Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки равно расстоянию до данной прямой , не содержащей точку .

Точка называется фокусом параболы, а прямая - директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через :

.

Коротко определение параболы можно записать так:

.

Пусть на плоскости дана прямая и точка . Проведем из точки перпендикуляр к прямой . Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы точка была серединой отрезка , а (рис. 95).

Выведем уравнение параболы с фокусом и директрисой в системе координат .

Найдем координаты точки и прямой в системе : .

Пусть . Тогда по определению параболы . Учитывая, что , получим:

.

Преобразуем это уравнение:

;

. (42)

Итак, если точка принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют уравнению (42).

Пусть, обратно, координаты точки удовлетворяют уравнению (42), т.е.

.

Тогда ; а . Следовательно, , т.е. (по определению параболы).

Таким образом, доказано, что уравнение (42) есть уравнение параболы с фокусом и директрисой . Уравнение (42) называется каноническим уравнением параболы.

Чтобы изобразить параболу по ее каноническому уравнению, исследуем геометрические свойства параболы.

Дата добавления: 2014-01-04