Свойства параболы

1°. Так как и , то из уравнения (42) следует, что , т.е. все точки параболы принадлежат полуплоскости .

2°. Выясним, симметрична ли парабола относительно начала координат и осей координат.

Пусть , т.е. парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Заметим, что и , следовательно, и , т.е. парабола не симметрична относительно начала координат и оси .

3°. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.

Таким образом, парабола имеет одну вершину.

4°. Зависимость формы параболы от ее фокального параметра.

Чем больше фокальный параметр , тем сильнее парабола вытягивается вдоль оси .

5°. Чтобы изобразить параболу, найдем координаты четырех вспомогательных точек, принадлежащих параболе.

.

Построение изображения параболы по ее каноническому уравнению выполняется в следующей последовательности: выбираем на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; строим точки ; проводим через точки и параболу; строим фокус и директрису (рис. 96).

Эксцентриситетом параболы называется число единица.

Из определения параболы следует, что , т.е. для параболы также имеет место директориальное свойство.

Директриса параболы также никогда не пересекает параболу.

Если построить параболы и в той же канонической системе координат , то они будут расположены так (рис. 97):

Заметим, что на ось параболы в ее каноническом уравнении указывает та переменная, которая стоит в первой степени.

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы:

а) ;	г) ;
б) ;	д) ;
в) ;	е) .

2. Дано каноническое уравнение параболы. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

3. Изобразите параболу, ее фокус и директрису:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

Дата добавления: 2014-01-04