Свойства функции распределения. Лекция № 10 Тема: Свойства функции распределения

Лекция № 10

Тема:

Свойства функции распределения. Плотность распределения случайной величины. Абсолютно непрерывные случайные величины

В математике нет другого такого раздела науки, в котором так легко совершить ошибку. Даже само высказывание «вычислять вероятность» содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?..

Карл Пирсон

Пусть — вероятностное пространство, а — случайная величина на нем. Напомним, что функцией распределения случайной величины мы назвали функцию

.

Свойства функции распределения

1) Если , то .

2) Если , то , т.е. — неубывающая функция.

3) а); б)

4) непрерывна слева, т.е.

5)

6)

Доказательство.

1) Если , то , причем , отсюда и из свойств вероятностей следует требуемое.

2) Если , то .

3) Покажем, что для любых последовательностей и таких, что

, , , .

Имеют место равенства:

,

Не трудно увидеть, что:

и .

Поэтому, применяя свойство непрерывности, имеем

.

Далее

и

Поэтому, по свойству непрерывности вероятностной меры, получим:

4) Пусть – произвольная числовая последовательность такая, что

, .

Покажем, что

Не трудно видеть, что имеет место равенство:

.

Так как

,

то по свойству непрерывности вероятности

.

5) По определению , где — числовая последовательность такая, что , , . Поскольку

,

а также

.

Согласно свойству непрерывной вероятности

.

6) Так как

,

а также

,

то

.

Рассмотрим без доказательства теорему.

Теорема 10.1.

Пусть обладает следующими свойствами: 1) — неубывающая функция на интервале ; 2) — непрерывна слева; 3) и . Тогда существует вероятностное пространство и случайная величина на нем такая, что функция распределения равна .

Дата добавления: 2014-01-04