Плотность распределения

Пусть — случайная величина на вероятностном пространстве с функцией распределения .

Определение 10.1

Говорят, что случайная величина имеет плотность распределения, если существует интегрируемая борелевская функция такая, что для всех выполнено равенство: . Функция называется плотностью распределения случайной величины .

Свойства плотности распределения:

1) (неотрицательность);

2) (нормированность).

Доказательство. Если функция является непрерывной функцией, то дифференцируемая и . Так как неубывающая функция, то . Следовательно, является не отрицательной функцией. Далее

.

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 10.2.

Пусть неотрицательная функция обладает свойством . Тогда существует вероятностное пространство и случайная величина на нем такая, что плотность распределения вероятностей равна .

Доказательство. Если удовлетворяет условиям теоремы, то существует функция , удовлетворяющая всем условиям теоремы 10.1.

В общем случае равенство выполнимо почти всюду относительно меры Лебега.

Теорема 10.3.

Если случайная величина имеет плотность распределения , то для любого борелевского множества имеет место равенство .

Доказательство. Рассмотрим на –алгебре борелевских множеств две вероятностные меры:

и .

Пусть — класс всех интегралов и конечных объединений таких интервалов (в частности допускается , ). Этот класс — алгебра. Далее, если случайная величина имеет плотность распределения , то

.

Это означает, что , если , а значит и на алгебре . Следовательно, они совпадают и на — наименьшей σ–алгебре, содержащей алгебру .

Дата добавления: 2014-01-04