Эффект Гиббса

Исследуем детальнее характер искажений, вносимых в амплитудную характеристику боковыми лепестками V(ω). С этой целью рассмотрим свертку (4) частотной характеристики прямоугольного окна W(α), центрированного в точке ω, с частотной характеристикой фильтра нижних частот, то есть речь пойдет о свойствах интеграла

(11)

где для упрощения записи шаг дискретизации Δ приравнен к единице. Нас будет интересовать величина и расположение ближайших к частоте среза ω₀ экстремумов функции G_Δ(ω) при N —>∞. Поскольку в этом случае ширина центрального лепестка V(α), равная , стремится к нулю, а колебания функции V(α) быстро затухают в точках α, удаленных от ± 2/N, то правую часть в (11) можно представить (и тем точнее, чем больше N) следующим образом,

(12)

Запишем необходимое условие экстремума функции (12),

отсюда получаем координаты ближайшего слева экстремума (то есть для ω < ω₀):

(13)

Оценим значение функции в точке ω₁. Подставляя (13) в (12), после введения новой переменной интегрирования (α -> Nα/2) получим, что

в силу первого замечательного предела

(14)

Функция Si(.), стоящая в правой части (14) (интегральный синус), затабулирована в справочниках, ее значение в точке равно 1.85194, кроме того,

следовательно,

(15)

Таким образом, характеристика G(ω) содержит аддитивные добавки, максимальная величина которых составляет для прямоугольного, окна около 9% и не уменьшается с увеличением длины фильтра. Данный эффект, получивший название - явление Гиббса, характерен для точек разрыва G(ω).

Дата добавления: 2014-01-04