Рассмотрим влияние рекламы

Финансовой пирамиды.

Рассмотрим влияние рефлексивности на деятельность

Предположим, что за счет рекламной компании и начальной дивидентной политики количество вкладчиков растет, тогда финансовая пирамида имеет возможность повышать дивиденды, это в свою очередь привлекает еще большее количество вкладчиков и, следовательно, большее количество денег и так далее.

Разберем механизм работы такой финансовой пирамиды, предполагая, что число вкладчиков растет со скоростью геометричекой прогресии.

Найдем количество денег, которое собирает финансовая пирамида, предполагая, что в конце каждого месяца выплачиваются b*100% дивидендов.

Пусть a > 1 коэффициент увеличения количество вкладчиков, тогда:

1й месяц: S(1) = m;

2й месяц: S(2) = m + a*m – b*m;

3й месяц: S(3) = m + a*m + a²*m – b*m – b*(1 + a)*m;

…

iй месяц: S(i) = m*(1 + a + a² + … + a^{(i – 1)}) – b*m – b*(1 + a)*m –

– b*(1 + a + a²)*m – … – b*(1 + a + a² + … + a^{(i – 2)})*m;

Но: 1 + a + … + a^{(i – 1)} = (aⁱ – 1) / (a – 1).

Или,

S(i) = [(aⁱ – 1) / (a – 1)]*m – b*m – b*(1 + a)*m –

– b*[(a³ – 1) / (a – 1)]*m – … – b*[(a^{i – 1} – 1) / (a – 1)]*m =

= [(aⁱ – 1) / (a – 1)]*m – b*m – ^b*m/_{(i – 1)} *(1 + a² – 1 + a³ – … + a^{i – 1}) =

= [(aⁱ – 1) / (a – 1)]*m – b*m – ^b*m/_{(i – 1)} *(– i + a² + a³ – … + a^{i – 1}) =

= [(aⁱ – 1) / (a – 1)]*m – b*m – ^b*m/_{(i – 1)} *(– i + [(aⁱ – 1) / (a – 1)]) =

= [(aⁱ – 1) / (a – 1)]*m – b*m – ^b*m*i/_{(i – 1)} – b*m*[(aⁱ – 1) / (a – 1)²].

Итак,

S(i) = [^{(a – 1 b – 1)}/_{(a – 1)}² ]*aⁱ *m + ^b*m*i/_{(i – 1)} – [^{(a – b – 1)}/_{(a – 1)}]*m.

Найдем максимум этой функции:

S^’(i) = [^{(a – b – 1)}/_{(a – 1)}² ]*aⁱ *ln(a*m);

S^’’(i) = [^{(a – b – 1)}/_{(a – 1)}² ]*aⁱ *ln²(a*m) < 0;

Здесь использовано предположение

g = 1 + b – a< 0;

Т.к. –g = a – b – 1 < 0 эквивалентно S^’’(i) < 0, т.е. g < 0.

Если g < 0, то есть число клиентов в процентном отношении растет быстрее, чем процент выплачиваемых дивидендов, то тогда S(i) ® ¥ при i ® ¥, и финансовая пирамида теоретически может работать бесконечно долго и собрать бесконечно много денег. На практике это не реализуемо, поскольку временной интервал, когда число вкладчиков растет в геометрической прогрессии не может быть бесконечным из-за конкуренции со стороны других финансовых пирамид, финансовых компаний, из-за насыщения рынка финансовых услуг и так далее.

Поэтому более реальным является предположение, что g > 0, тогда 2я производная отрицательна, следовательно, существует некоторый срок деятельности финансовой пирамиды, когда она собирает максимальную сумму денег.

Найдем этот срок.

S^’(i) = [^-g/_{(a – 1)}² ]*aⁱ *lna = ^b/_{(a – 1)};

aⁱ = ln[^{b*(a – 1)}/_{g * lna}];

i*lna = ln[^{b*(i – 1)}/_{g* lna}];

i_max = ¹/_lna *ln[^{b*(i – 1)}/_{g* lna}].

Задача.

Найти оптимальный срок деятельности финансовой пирамиды в зависимости от a и b.

Решение:

Составим таблицу:

a	b	imax
1,05	0,25	5 мес
1,1	0,25	6 мес
1,2	0,25	9 мес
1,24	0,25	15 мес
1,01	0,05	23 мес

Вывод_1: чем больше скорость с которой растет число вкладчиков(a), тем дольше может работать финансовая пирамида.

Вывод_2: чем ниже процентная ставка, тем дольше может работать финансовая пирамида.

Неотъемлемая часть деятельности финансовых пирамид - активная рекламная кампания, на которую тратятся значительные средства.

В связи с этим моделирование рекламной кампании должно быть составной частью математической модели финансовой пирамиды.

Это тем более верно, так как от эффективной рекламной кампании зависит количество новых клиентов, а значит и поступление новых средств, из которых выплачиваются проценты и производятся другие расходы.

Ясно, что вначале расходы на рекламу будут превышать поступление средств, поскольку сначала лишь небольшая часть потенциальных клиентов знает о существовании финансовой пирамиды.

С увеличением числа клиентов, поступление новых средств должно уже значительно превышать расходы на рекламу.

Однако, со временем, может наступить момент, когда реклама становится неэффективной из-за конкуренции со стороны других финансовых компаний, из-за насыщения рынка финансовых услуг и так далее.

При моделировании рекламной кампании финансовые пирамиды будем основываться на следующих предположениях:

1. Скорость изменения со временем числа клиентов

пропорционально числу потенциальных клиентов не знающих о существовании финансовой пирамиды.

Обозначим через N (t) – общее число клиентов финансовой пирамиды в текущий момент времени t, N₀ – общее число потенциальных клиентов, a(t) – интенсивность рекламной кампании, которую в первом приближении можно считать пропорциональной расходам на рекламу.

2. Общеизвестно, что значительная часть новых клиентов финансовой пирамиды приходит под воздействием информации и слухов, передаваемых в основном старыми клиентами, которые выступают как бы дополнительными рекламными агентами финансовой пирамиды.

Будем предполагать, что их вклад в увеличение скорости появления новых клиентов равен величине: a₂ (t) * N(t) * (N₀ – N (t)), где функция a₂(t) характеризует степень общения клиентов между собой.

Суммируя 1) и 2) получаем уравнение:

dN / dt = [a₁(t) + a₂(t) * N] * (N₀ – N) (1)

К этому уравнению добавляем начальное условие

N(0) = N₀ > 0 (2)

И для нахождения текущего числа клиентов финансовой пирамиды получаем задачу Коши (1), (2).

Дата добавления: 2014-01-04