Разложение определителя по столбцам

Для квадратной матрицы А определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием i- й строки и j- го столбца, будем обозначать М_ij и называть минором, соответствующим элементу a_ij матрицы A.

Рассмотрим функцию матрицы

F(A) = а_1i M_1i - а_2i M_2i + а_3i M_3i - …+(-1)ⁿ⁺¹а_ni M_ni.

Аналогично утверждениям 1¸6 из 5.1 доказывается, что F(A) – полилинейная кососимметричная функция строк матрицы А. Разница лишь в том, что не надо проводить индукцию, так как полилинейность и кососимметричность определителей М_ij нам уже известна.

Упражнение. Доказать полилинейность и кососимметричность по строкам функции F(A).

По обратной теореме об определителях F(A) = с|A|, где с = F(E) = 0× M_1i - 0×M_2i +…+(-1)ⁱ⁺¹1×M_{i i} + …+(-1)ⁿ⁺¹ ×0×M_ni =

= (-1)ⁱ⁺¹M_{i i} =(-1)¹⁺ⁱ, так как M_{i i} = 1 Þ F(A)= (-1)¹⁺ⁱ|A| Þ

Þ |A|=(-1)¹⁺ⁱF(A)=(-1)¹⁺ⁱа_1iM_1i+(-1)²⁺ⁱа_2i M_2i+…+(-1)ⁿ⁺ⁱ а_ni M_ni.

Таким образом, нами доказана

Теорема о разложении определителя по столбцу:

" i |A|=.

Определение. Будем называть А_ji= (-1)^j+iM_ji алгебраическим дополнением элемента а_ji в определителе.

В этих обозначениях |A|=.

Дата добавления: 2014-01-04