Построение алгебры многочленов

Пусть Р – произвольное поле.

Определение. Многочленом с коэффициентами в поле Р будем называть бесконечную строчку (a₀,a₁,a₂,a₃,…), где все компоненты a₀,a₁,a₂,a₃,…Î P и почти все a _i (то есть все, за исключением конечного числа) равны 0. Множество многочленов будем обозначать P [x].

I. Определим на множестве P [x] операции:

пусть для f = (a₀,a₁,a₂,…), g = (b₀, b₁, b₂,…)Î P [x], lÎ P по определению l×f = (la₀, la₁, la₂,…),

f + g = (a₀ +b₀, a₁ +b₁, a₂ +b₂,…), f×g =(g₀, g₁, g₂,…), где

g₀ =a₀b₀ , g₁ = a₀b₁+a₁b₀, g₂ =a₀b₂+a₁b₁ +a₂b₀, и " k ³ 0 g_k =a₀b_k+a₁b_k-1+a₂b_k-2 + …+a_kb₀ = =. Очевидно, у строчек l×f, f + g, f×g также почти все компоненты равны нулю, то есть l×f, f + g, f×g содержатся в P [x].

II. Легко проверить, что для определенных нами операций выполнены свойства АКУ-кольца (см. Лекцию 11):

1. (f + g) + h = f + (g + h) " f, g, h Î P [x],
2. $ элемент 0 _Р[x] Î P [x], 0 _Р[x] = (0,0,0,…) такой, что 0 _{Р[ x]} + f = f + 0 _{Р[ x]} = f " fÎ P [x],
3. " fÎ P [x] $ элемент - fÎ P [x] такой, что (- f)+f = 0 _Р[x],
4. f + g = g + f " f, g Î P [x],
5. (fg)h = f(gh) " f, g, h Î P [x],
6. $ элемент 1 _Р[x] Î P [x], 1 _Р[x] = (1,0,0,…) такой, что

1 _Р[x] ×f = f×1 _Р[x] = f " fÎ P [x],

8. fg = g f " f, g Î P [x],

9. (f + g)h = fh +gh " f, g, h Î P [x],

а также выполнены свойства линейного пространства:

v. l(f+g) = lf+lg " f, gÎ P [x], "lÎ P,

vi. (l+m)f = l f+m f " fÎ P [x], "l, mÎ P,

vii. (lm)f = l(m f) " fÎ P [x], "l, mÎ P,

viii. 1×f = f " fÎ P [x],

и свойство l(fg) = (lf)g = f(lg) " f, gÎ P [x], "lÎ P.

Проверим, например, свойство 5. Пусть f = (a₀,a₁,a₂,…), g = (b₀, b₁, b₂,…), h = (g₀, g ₁, g₂,…), fg =(d₀, d₁, d ₂,…). Тогда d_к = , и s-я компонента строчки (fg)h равна

=, то есть совпадает с s-й компонентой строчки f(gh) " s. Отсюда (fg)h = f(gh).

Упражнение. Доказать остальные свойства.

Таким образом, мы получаем, что P [x] является АКУ-кольцом, линейным пространством и алгеброй над полем Р

(см. Лекцию 18, п.9.1).

Определение. Пусть f = (a₀,a₁,a₂,…), и a_k ¹ 0, а при m > k все a_m = 0. Тогда мы будем говорить, что степень многочлена f равна k и писать ст.f = k или deg.f = k. Будем считать по определению, что ст.0 _{Р[ x]} = - ¥.

Обозначим многочлен (0,1,0,0,0,…) через х. Тогда легко проверить, что х²=(0,0,1,0,0,…), х³= (0,0,0,1,0,…),…, и значит, f = (a₀,a₁,a₂,…)= (a₀,0,0,0,…)+(0,a₁,0,0,…)+(0,0,a₂,0,…)+…=

= a₀(1,0,0,0,…) + a₁(0,1,0,0,…) + a₂(0,0,1,0,…) + …= a₀1 _Р[x] + +a₁х +a₂х²+… Если в этом выражении не писать нулевые слагаемые и множитель 1 _Р[x], то f = a₀ + a₁х + a₂х²+ …+a_kх^k, где k = ст.f.

Теорема. ст.(fg) = ст.f + ст.g.

Доказательство. Если f = 0 _Р[x] или g = 0 _Р[x], то левая и правая части равенства равны -¥, и утверждение теоремы верно. Если же ст.f ³ 0, f=a_kх^k + a_k-1х^k-1+…+ a₁х + a₀, a_k¹ 0, ст.g ³ 0, g= b_mх^m + b_m-1х^m-1+…+ b₁х + b₀, b_m¹ 0, то

fg = a_kb_mх^k+m+…, и a_kb_m ¹ 0 Þ ст.(fg) = k + m = ст.f + ст.g.

ÿ

Следствие. В кольце Р [x] нет делителей нуля.

При построении кольца многочленов вместо поля Р можно аналогичным образом использовать произвольное АКУ-кольцо А. В этом случае мы получим АКУ-кольцо многочленов А [x] с коэффициентами в кольце А. Так, например, если А = Z, то мы получим кольцо многочленов Z [x] с целыми коэффициентами. Если А = Р [x₁], то кольцо А [x₂] = Р [x₁][x₂] = = Р [x₁,x₂] – это кольцо многочленов от двух переменных с коэффициентами в поле Р.

Дата добавления: 2014-01-04