Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель многочленов

Следствия.

Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

Замечания.

1.Легко видеть, что кольца Р [x₁][x₂] и Р [х₂][x₁] – изоморфны (определение изоморфизма для колец такое же, как и для полей – см. Лекцию 12, 6.5).

2. Аналогичным образом " п строится кольцо многочленов от п переменных P [x₁,…,x_n] с коэффициентами в поле Р.

Далее мы будем рассматривать кольцо многочленов Р [x]

с коэффициентами в некотором поле Р.

Когда это не вызовет недоразумений, мы будем обозначать нейтральные элементы кольца Р [х] через 0 и 1.

Теорема 1. В кольце P [x] деление с остатком существует и единственно, то есть " f(x), g(x)Î P [x], g(x)¹ 0, $ единственная пара q(x), r(x)Î P [x] такая, что f(x) = g(x)q(x)+ r(x) и ст.r(x)< ст.g(x). (r(x) называется остатком от деления f на g).

Доказательство существования деления индукцией по степени многочлена f.

Пусть f = a_kх^k + a_k-1х^k-1 +…+ a₁х + a₀,

g = b_mх^m + b_m-1х^m-1 +…+ b₁х + b₀.

1. Если ст.f < ст.g, то f = g×0+ f, то есть q, r существуют, q= 0, r = f.

2. Если ст.f ³ ст.g, то рассмотрим f₁ = f - a_k(b_m)^-1 x ^k-mg. Очевидно, ст.f₁ < ст.f, и по предположению индукции можно считать, что для f₁ и g утверждение верно, то есть $ q₁, r₁Î P [x] такие, что f₁ = gq₁ + r₁, и ст.r₁ < ст.g. Но тогда

f = f₁ + a_k(b_m)^-1x ^k-mg = gq₁ + r₁ + a_k(b_m)^-1x ^k-mg =

= g(q₁+a_k(b_m)^-1x ^k-m)+r₁= gq + r, где q = q₁+a_k(b_m)^-1x ^k-m, r = r₁,

и ст.r₁ < ст.g. Таким образом, существование деления с остатком в P [x] доказано.

Докажем единственность. Пусть f = gq + r = gq₁ + r₁, и ст.r < ст.g, ст.r₁ < ст.g. Тогда g(q – q₁)= r₁ - r, и если q ¹ q₁, то ст.g(q – q₁)³ ст.g, а ст.(r₁ – r) < ст.g - противоречие. Значит, q = q₁, r = r₁. Это и означает единственность деления с остатком в P [x].

ÿ

Теорема Безу. Пусть f Î P [x], aÎ P. Если r – остаток от деления многочлена f на (х – а), то r = f(a).

Доказательство. Пусть f =(x – a)q +r, ст.r < ст.(х – а)=1 Þ rÎ P, и при х = а f(а) =(а – a)q(а) +r Þ r = f(а).

1. Если многочлен f(x) имеет корень а, то есть f(a) = 0, то (х – а) | f(a), f(x) = (х – а)g(x).

2. Если многочлен f(x) имеет различные корни а₁, а₂,…, а_k, то f(x) = (х – а₁)(х – а₂)… (х – а_k)h(x).

Доказательство. В самом деле, если f(x) имеет корень а₁, то f(x) = (х – а₁)f₁(x). Далее, если f(а₂) = 0, то

f(а₂) = (а₂ – а₁)f₁(а₂) = 0 Þ f₁(а₂) = 0 Þ f₁(x) = (х – а₂)f₂(x) Þ f(x) = (х – а₁)(х – а₂) f₂(x). И так далее.

3. Если f(x) имеет k различных корней, то k £ ст.f.

Лекция 21.

Определение. Многочлен F называется кратным многочлена f, если f |F. Многочлен F называется общим кратным многочленов f и g, если f |F, g |F. Многочлен т называется наименьшим общим кратным многочленов f и g, если т ¹ 0 и т имеет наименьшую степень среди всех общих кратных.

Очевидно, fg – общее кратное для f и g, то есть общие

кратные для f и g существуют, а следовательно, существуют и наименьшие общие кратные.

Теорема. Если М - общее кратное для f и g, а т - наименьшее общее кратное, то т | M.

Доказательство. Разделим М на т с остатком: М=тq+ r, и ст.r < ст.т Þ r = M – mq, и так как f и g делят правую часть равенства, то f | r, g |r, то есть r – общее кратное для f и g. Но т – наименьшее общее кратное для f и g, а ст.r < ст.т Þ r = 0 Þ т | M.

ÿ

Следствие. Если т₁ и т₂ наименьшие общие кратные для f и g, то т₁ | т₂ и т₂ | т₁ Þ т₂ = aт₁, т₁ = bт₂ Þ т₂ = abт₂ Þ т₂(1 – ab) = 0 Þ 1 – ab = 0 Þ ab = 1 Þ a, b Î P. Следовательно, любые два наименьших общих кратных для f и g

отличаются на ненулевой множитель из Р. Наоборот, если т – наименьшее общее кратное для f и g, то " а Î Р, а ¹ 0, ат - также наименьшее общее кратное для f и g, и значит, {am |а Î Р, а ¹ 0} – множество всех наименьших общих кратных для f и g.

Дата добавления: 2014-01-04