Матрица композиции линейных отображений

Пусть Lⁿ, L^m, L^s - линейные пространства над полем P с

базисами e, e¢, e¢¢ соответственно, j: Lⁿ ® L^m - линейное отображение с m´ n- матрицей и y: L^m ® L^s - линейное

отображение с s´ m- матрицей .

Утверждение. c = y j: Lⁿ ® L^s - линейное отображение с s´ n- матрицей = ×.

Доказательство. 1. " a, bÎ Lⁿ, " a,b Î P имеем:

c(a a+b b)=y(j (a a+b b))=y(aj a+bj b)=ay(j a)+

+by(j b)= ac a+bc b – получили линейность c.

2. Пусть x Î Lⁿ, y = j x, (y Î L^m), z = y y = y(j x), (z Î L^s). Тогда [] = [ j ] × [], [] = [ y ] × [] Þ [] = [ y ] ×( [ j ] × [] )= = ( [ y ] × [ j ] )× [] = [ y j ] × [] Þ [ y j ] = [ y ] × [ j ] – здесь мы воспользовались ассоциатив­ностью умножения матриц и биективным соответствием между линейными отображениями и матрицами.

Дата добавления: 2014-01-04