Доказательство теоремы

1. Пусть е – некоторый фиксированный базис в Lⁿ. Опреде­лим отображение c: Ф(Lⁿ) ® М_n(Р), где М_n(Р) – алгебра

n´ n -матриц над Р. Пусть "jÎФ(Lⁿ) по определению cj= [ ].

Как мы уже видели, c - биекция.

2. Отображение c: < Ф(Lⁿ),+, , > ® < М_n(Р), +,×, > является изоморфизмом универсальных алгебр, так как по результатам пп.13.2-13.4

c(j+y) = [ j+y ] = [ j ] + [ y ] = cj + cy,

c(j y) = [ j y ] = [ j ] × [ y ] =cj ×cy,

c(r× _p j) = [ r× _p j ] = r × _p [ j ] = r × _p cj.

3. Так как < М_n(Р), +,×, > - алгебра, то < Ф(Lⁿ),+,, > - алгебра, и эти алгебры изоморфны. В качестве примера до­кажем дистрибутивность в Ф(Lⁿ): " j, y, x Î Ф(Lⁿ)

c((j+y)x) = c(j+y)×cx = (cj + cy)×cx = cj×cx + cy×cx =

= c(j x) + c(y x) = c(j x + y x)

Þ (j + y)x = j x + y x (из биективности c).

Остальные условия из определения алгебры проверяются аналогично.

Дата добавления: 2014-01-04