Уравнение Шредингера

Свойство волновой функции

Вероятностный смысл волн де Бройля. Волновая функция

Квадрат амплитуды световой волны является мерой вероятности попадания фотонов в какую-либо точку: A^2~W, J^~A². Из опытов о дифракции электронов обнаруживается не одинаковое распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по любым направлениям, т.е. вероятность попадания электронов в любую точку экрана неодинакова. С волновой точки зрения это соответствует любой интенсивности волн де Бройля, т.е. J волн в данной точке пространства позволяет определить число электронов, попавших в эту точку за одну секунду | A²|^~W.

Модуль квадрата A волны де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой области пространства вводят волновую функциюΨ (x, y, z, t), которая зависит от координат и времени. Вероятность ΔW, что частица находится в объеме dv пропорциональна Ψ² и dv.
dW=|Ψ| ²dv=| Ψ |²dxdydz

| Ψ |²= Ψ ۬۬۠× Ψ^*, Ψ^*- где сопряженная.

| Ψ |²- имеет смысл плотности вероятности.

, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства или определяет интенсивность волн де Бройля.

Вероятность ΔW найти частицу в момент времени t в конечном объеме V:

v

v

Из определения волновой следует, что она должна удовлетворять условию нормировки. Нормировать Ψ следует так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу. Если за объем V принять бесконечный объем всего пространства это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве:

v

Ψ функция должна быть:

1. Конечной, т.к вероятность не может быть больше единицы;

2. Однозначной, т.к. вероятность не может быть многозначной величиной;

3. Непрерывной, т.к. вероятность не может изменяться скачками.

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции. Если система находится в любых состояниях вписываемых волновыми f, Ψ₁,Ψ ₂, Ψ₃, то она может находиться в состоянии Ψ, описываемой линейной комбинацией этих функций:.

Так как положение частицы в пространстве в квантовой механике задается через волновую функцию Ψ(x, y, z, t) то основное уравнение квантовой механики должны быть уравнением этой функции Ψ.

В 1906г. Уравнение Шредингера постулируется:

(*), где,, m – масса частицы, D – оператор Лапласа, U(x, y, z) – Wp частицы в силовом поле, i – мнимая единица,. (*) – временное (общее) уравнение Шредингера. Оно справедливо для любой частицы массой m, с V<<c.

Решение этого уравнения можно записать в виде:, где – координатная часть волновой функции, – временная часть волновой функции.

При решении ряда физических задач микромира необходимо учесть находить стационарное решение уравнения Шредингера (не содержащее время). Это имеет смысл, когда U=U(x, y, z), т.е. ее амплитудная часть.

Уравнение Шредингера:, где E – полная энергия частицы. Решением данного уравнения будут волновые функции, которые удовлетворяют свойствам функции: однозначность, конечность, непрерывность. Волновых f, удовлетворяющие уравнению Шредингера при данном значении потенциальной энергии, называется собственными функциями, а значения полной энергии E, при которой существует решение уравнения Шредингера, называется собственными значениями энергии.

Дата добавления: 2014-01-04