Энергия частицы в потенциальной яме

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими степенями

Уравнение Шредингера для свободной частицы

Свободная частица – это частица, движущая в отсутствии внешних полей. Рассмотрим частицу, которая движется только вдоль оси ox, т.к. она свободная U(x)=0. E_полн.=E_кин.

Обозначим как k²:. Решением данного уравнения является уравнение., где A и k некоторые const. Найдем собственные значения энергии частицы:

Вывод: энергия свободной частицы E так же как и волновое число k, может принимать любые значения, т.е. энергетический спектр энергий непрерывный. Таким образом, свободная микрочастица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Вероятность(плотность вероятности) обнаружения частиц данной точке –A²., т.е. все положения частицы в пространстве равновероятны.

U®¥

U®¥

U=0

x

Поведение частицы в потенциальном поле, показанном на рисунке справа. Для упрощения примем, что частица движется только вдоль оси ox.  

U(x)=0,0£x£l

¥,x<0

l– ширина ямы. Энергия ямы отсчитывается от ее дна.  

¥, x>l

(*) – общее стационарное уравнение Шредингера.

Так как яма имеет бесконечно высокие стенки, частица не может проникнуть за пределы ямы, поэтому вероятность обнаружения частицы a Þ волновой f за пределами ямы равна нулю. На границах ямы в точке x=0 и x=l волновая f вследствие ее непрерывности так же как должна обращаться в нольÞ,.

В пределах ямы (*) имеет вид: (1), где.

Общее решение уравнения (1) имеет вид:,где A, B – const, т.к., то Þ B=0 Þ выполняется, когда kDl=np, где n – целое число,; Þ.

На длине ямы l должно укладываться целое число длин полуволн, образуя стоячую волну, причем возможность длины волны l_n принимают дискретный ряд значений.

Постоянную A найдем из условия нормировки:,

Þ

– собственные значения функции, где n – целые числа.

l

n=3

n=2

n=1

l

В квантовом сочетании при n=2 частица не может находиться в середине ямы, но одинаково часто может находиться в точке с координатами: и. Все это свидетельствует о не состоятельности представлений о траектории частицы в квантовой механике.  

;;, где n – целые числа.

Вывод: энергия частицы в потенциальной яме не может быть любой. Она принимает лишь ряд дискретных собственных значений. Поэтому говорят, что энергия частицы в потенциальной яме квантована. Квантованные значения энергии называются уравнениями энергии, а n – квантовые числа.

Таким образом, частица в потенциальной яме может находиться на определенном энергетическом уровне или в определенном состоянии n.

DE=E_n+1–E_n– интервал между соседними энергетическими уровнями.

l= 10^-9м®D E

, если n>>1, 2n+1»2nÞ, т.е. соседние уровни энергии частицы в потенциальной яме расположены тем теснее, чем больше n.

Дата добавления: 2014-01-04