Флуктуации. Распределение Гаусса

Статистическое и чисто термодинамическое описание тепловых процессов различаются тем, что из законов статистической физики с неизбежностью вытекает существование флуктуаций. В то же время вероятность сколько-нибудь заметных флуктуаций в системе, содержащей большое число частиц, чрезвычайно мала.

Открытие многочисленных примеров флуктуационных процессов явилось блестящим подтверждением законов статистической физики и послужило одним из важнейших моментов в окончательном утверждении молекулярной теории.

В работах Эйнштейна и Смолуховского было показано, что целый ряд давно известных физических процессов обусловлен явлениями флуктуаций, и была развита комплексная теория этих вопросов, оказавшихся в прекрасном согласии с экспериментами.

Рассмотрим флуктуации в замкнутой системе.

Пусть система находится в состоянии статистического равновесия и имеет энтропию S₀. Предположим теперь, что состояние системы изменяется так, что она переходит в неравновесное состояние с энтропией S.

Будем считать, что изменение состояния системы можно характеризовать изменением некоторого внутреннего параметра x, значение которого зависит от состояния всей системы.

В равновесии x = x₀. Пример x – плотность ρ газа, находящегося в замкнутом теплоизолированном сосуде. В состоянии равновесия плотность постоянна по всему объему сосуда x₀=ρ₀=const.

В результате флуктуации система может самопроизвольно перейти в неравновесное состояние с переменной плотностью x= ρ(r).

Энтропия системы будет некоторой функцией параметра x: S=S(x). При этом в состоянии равновесия S₀=S(x₀).

Вероятность застать систему в интервале значений x; x+dx должна быть пропорциональна статистическому весу (числу микросостояний) и величине интервала dx:

.

Для изолированной системы верна формула Больцмана

Константа определяется из условия нормировки:

Или для функции распределения:

(*)

Прежде, чем приступить к интегрированию этой функции, надо ответить на вопрос о пределах ее применимости. Все распределения, приведенные выше, неявно подразумевают классичность поведения x. Поэтому надо найти условие, допускающее пренебрежение квантовыми эффектами.

Как известно из квантовой механики, между квантовыми неопределенностями энергии и какой-либо величины x имеет место соотношение

где dx/dt – классическая скорость изменения величины x.

Пусть τ – время, характеризующее скорость изменения нашей величины x, которая имеет неравновесное значение. Тогда

Ясно, что говорить об определенном значении величины x можно лишь при условии малости ее квантовой неопределенности

Таким образом, квантовая неопределенность энергии должно быть велика по сравнению с. Энтропия системы будет при этом иметь неопределенность

Для того, чтобы формула (*) имела реальный смысл, необходимо, очевидно, чтобы кавнтовая неточность энтропии была мала по сравнению с k:

;

Это и есть искомое условие. При слишком низких температурах или при слишком быстром изменении x (слишком малом τ) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, т.к. на первый план выступают чисто квантовые флуктуации.

Выберем x так, что энтропия имеет максимум при x = x₀ = 0. Поэтому

,

Величина x при флуктуациях очень мала. Разлагая S(x) в ряд по степеням x и ограничиваясь членом второго порядка, получим

где β>0. Тогда получим распределение вероятностей в виде:

Нормирование константы A определяется условием

Хотя выражение для f(x) относится к малым x, но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличением |x| область интегрирования можно распространить на все значения от -∞ до +∞. Произведя интегрирование, получим

(интеграл Пуассона).

Таким образом, имеем для величины x распределение:

.

Эта формула называется распределение Гаусса. Если обозначить

,

то, беря интеграл, распределение можно записать в виде:

.

Функция f (x) имеет тем более острый максимум, чем меньше < x ²>.

Отметим, что по известному < x ²> можно найти аналогичную величину для любой функции j (x). Ввиду малости x имеем:

<(Dj)²> =

(подразумевается, что функция j(x) мало меняется при значениях x ~ <x²> и что производная dj/dx отлична от нуля при x = 0).

Если, то распределение Гаусса запишется в виде:

.

Дата добавления: 2014-01-04