Биномиальная модель. Мартингализирующая мера

Существует одна модель, для которой удалось полностью решить задачу оптимального хеджа европейского опциона и явным образом определить мартингализирующую меру . В этой модели рассматривается всего лишь один рисковый инструмент, цена которого в момент равна и безрисковый инструмент с доходностью за единицу времени. Сохраняя обозначение предыдущих разделов, положим Предполагается, что рисковый инструмент ведет себя следующим образом: между двумя последовательными периодами времени относительное изменение цен равно либо , либо , где :

Начальная цена акций задана.

Множество возможных состояний или, иначе говоря, множество элементарных исходов в этой модели представляет собой множество последовательностей , где каждая из равна либо либо . Переменные представляют собой отношения цен в последовательные моменты времени:

Структура событий в этой модели может быть задана -алгебрами, порождаемыми случайными величинами Мы будем считать, что и . Задание вероятностной меры эквивалентно заданию вероятностей различных последовательностей . Нам не потребуется делать какие-либо предположения о вероятностной мере , за исключеннием того, что в каждый момент времени существует ненулевая вероятность обоих исходов.

Как мы показали ранее, для построения хеджирующей стратегии европейского опциона и определения его цены необходимо найти риск-нейтральную вероятностную меру , обращающую дисконтированную цену рискового актива в мартингал. В нашем случае свойство мартингальности сводится к равенству

Так как то это равнство можно переписать в виде

Учитывая то, что принимает всего два значения, и , получаем

(38)

Добавляя к (40) условие нормировки

получаем простейшую систему линейных уравнений для определения и , решение которой

Положительность и требует, чтобы для доходности безрисковой бумаги выполнялись неравенства

что имеет вполне прозрачный экономический смысл.

При есть возможность, взяв безрисковый кредит, получить, ничем не рискуя, чистую прибыль с положительной вероятностью. При надо продать не принадлежащую вам акцию и вложить эти деньги в безрисковый инструмент.

Из того, что вероятности и не зависят от следует, что являются относительно меры независимыми случайными величинами, принимающими значения и с вероятностями и соответственно. Остается добавить, что так как мартингализирующая мера в этом случае единственная, то, согласно теореме 17, рынок является нормальным и совершенным.

Дата добавления: 2014-01-04