Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома (см. (100.3)) по­зволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источни­ков э.д.с. и т. д.), довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа.

Любая точка разветвления цепи, в ко­торой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положитель­ным, а ток, выходящий из узла,— отрица­тельным.

Первое правило Кирхгофа: алгебраи­ческая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

I ₁- I ₂+ I ₃- I ₄- I ₅=0.

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке про­водника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические за­ряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий

из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за по­ложительное, отметив, что выбор этого на­правления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с на­правлением обхода контура, считаются по­ложительными, не совпадающие с на­правлением обхода — отрицательными. Источники э.д.с. считаются положительны­ми, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, по­лучим

I ₁ R ₁ -I ₂ R ₂ +I ₃ R ₃ = ξ ₁ - ξ ₂ + ξ ₃. (101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в развет­вленной электрической цепи, алгебраиче­ская сумма произведений сил токов I_i, на сопротивления R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраиче­ской сумме э.д.с. ξ _k, встречающихся в этом контуре:

При расчете сложных цепей постоян­ного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действитель­ное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток полу­чится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицатель­ным — его истинное направление противо­положно выбранному.

2. Выбрать направление обхода кон­тура и строго его придерживаться; про­изведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, счита­ются положительными, против — отрица­тельными.

3. Составить столько уравнений, что­бы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рас­сматриваемой цепи); каждый рассматри­ваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в преды­дущих контурах, иначе получатся уравне­ния, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измери­тельного моста Уитстона. Сопротивления R ₁, R ₂, R ₃ и R ₄ образуют его плечи. Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. ξ и со­противлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением R_G. Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

Для контуров АСВ ξ А, ACDA и CBDC, соглас­но второму правилу Кирхгофа, можно запи­сать:

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R ₂, R ₃ и R ₄, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (I_G=0). Тогда из (101.3) найдем

I ₁= I ₂, I ₃ = I ₄, (101.5)

а из (101.4) получим

I ₁ R ₁= I ₄R₄, I ₂ R ₂= I ₃ R ₃. (101.6) Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

R ₁/ R ₄= R ₂/ R ₃, или R ₁= R ₂ R ₄/ R ₃ (101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (I_G=0) при определении искомого сопротивле­ния R ₁ э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используется реохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния R ₃ и R₄ представляют собой длинную одно­родную проволоку (реохорд) с большим удель­ным сопротивлением, так что отношение R ₃ /R ₄ можно заменить отношением l ₃/ l ₄. Тогда, ис­пользуя выражение (101.7), можно записать

R ₁ =R ₂ l ₄ /l ₃. (101.8)

Длины l ₃ и l ₄ легко измеряются по шкале, a R ₂ всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное со­противление R ₁.

Дата добавления: 2014-01-04