Применение теоремы Гаусса к расчету электрических полей

Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно в тех случаях, когда поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия и конфигурация поля должны быть такими, чтобы, во-первых, заряженное тело можно было бы окружить достаточно простой замкнутой поверхностью и, во-вторых, вычисление потока вектора напряженности свести к простому умножению Е (или E_n) на площадь поверхности S или часть ее. Если этого сделать нельзя, то задачу необходимо решать другими методами.

1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Будем считать заряд положительным. Плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Из симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости (рис. 2.10). Очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Выделим на заряженной плоскости площадку . Окружим эту площадку замкнутой поверхностью. В качестве замкнутой поверхности представим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к этой поверхности теорему Гаусса . Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, так как в каждой ее точке равна нулю. Для оснований совпадает с . Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен . Внутри поверхности заключен заряд . Согласно теореме Гаусса, должно выполняться условие: , откуда

. (3)

Полученный результат не зависит от длины цилиндра, т.е. на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит, как показано на рис. 2.11. Для отрицательно заряженной плоскости направления векторов изменятся на обратные. Если плоскость конечных размеров, то полученный результат будет справедлив лишь для точек, расстояние которых от края пластины значительно превышает расстояние от самой пластинки (рис. 2.12).

Рис. 2.11 Рис. 2.12

2) Поле, образованное двумя разноименными заряженными плоскостями (бесконечно большими)

Поле двух параллельных бесконечно больших плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью можно рассматривать как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. В области между плоскостями (рис.2.13) складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна

(4)

Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю E=0. Таким образом, поле сосредоточено между плоскостями. Напряженность поля во всех точках этой области одинакова по величине и по направлению. Поле, обладающее такими свойствами, называется однородным. Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых.

Полученный результат приблизительно справедлив и в случае плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями значительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом случае заметные отклонения поля от однородности напряженности наблюдаются только вблизи краев пластин (рис. 2.14).

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ.

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей напряженность поля .

Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке.

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

, т.е. .

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

.

Это формула для расчета пондермоторной силы.

3) Поле, образованное бесконечно длинным заряженным цилиндром

Рассчитаем напряженность поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром радиуса R, заряженным с поверхностной плотностью в точке А, отстоящей на расстояния r от оси цилиндра. Из соображений симметрии следует, что напряженность в любой точке направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а значение напряженности зависит лишь от расстояния r от цилиндра.

Вырежем из бесконечно длинного цилиндра элемент длиной h. Окружим этот элемент цилиндрической поверхностью (коаксиальной с заряженной) радиуса r, так, чтобы эта поверхность проходила через точку А (рис. 2.15). Для оснований внешнего цилиндра , для боковой поверхности (заряд считаем положительным) . Силовые линии поля пересекают только боковую поверхность цилиндра радиуса r. Следовательно, поток вектора через эту замкнутую поверхность будет равен . Если внутрь поверхности попадает заряд , где –поверхностная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем:

, , откуда . (5)

Если , рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего . Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности поле отсутствует.

Если радиус цилиндра , а заряд распределяется по длине цилиндра с линейной плотностью τ. Тогда можно формулу (17) преобразовать:

Тогда (6)

4) Поле, образованное двумя цилиндрическими поверхностями, заряженными одинаковыми разноименными зарядами

С помощью принципа суперпозиции легко найти поле двух коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине, но отличающейся знаком линейной плотностью (рис. 2.16). Внутри меньшего и вне большого цилиндров поле отсутствует. В зазоре между цилиндрами величина напряженности поля определяется формулой

(7).

Это справедливо и для цилиндрических поверхностей конечной длины, если зазор между поверхностями значительно меньше их длины (цилиндрический конденсатор).

5) Поле, образованное заряженной сферической поверхностью

Рассмотрим поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью . Это поле обладает центральной симметрией. Это означает, что направление вектора в любой точке проходит через центр сферы, а значение напряженности является функцией расстояния r от центра сферы (рис. 2.17). Найдем напряженность поля, созданную заряженной сферой в точках А и В. Через точки А и В проведем сферические поверхности и найдем поток вектора напряженности через эти поверхности.

Точка В находится внутри заряженной сферической поверхности, на расстоянии r от центра (r<R). Сферическая поверхность, проведенная через эту точку, не будет содержать внутри заряда. Следовательно, по теореме Гаусса , напряженность в точке В будет равна нулю. Е =0 (r<R) (рис. 2.17).

Найдем напряженность поля, созданного заряженной сферической поверхностью в точке А, находящейся на расстоянии r от центра сферы. Окружим заряженное тело замкнутой сферической поверхностью, радиуса r, проходящей через точку А (рис. 2.17).

Для всех точек этой поверхности . Внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле. Следовательно, (так как ).

Таким образом, напряженность поля в точках, расположенных на расстоянии r>R, равна

(8)

Поле вне заряженной сферической поверхности имеет такой же вид, как поле точечного заряда q, находящегося на расстоянии r от точки А. Если известна поверхностная плотность заряда σ, то , подставив в (8), получим

. (9)

6). Поле объемного заряженного шара

Найдем напряженность поля, созданного заряженным шаром в точке А, находящейся на расстоянии r от центра шара. Окружим заряженное тело замкнутой сферической поверхностью, радиуса r, проходящей через точку А (рис. 2.18).

Для всех точек этой поверхности . Внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле. Следовательно, (так как ). Таким образом, для поля вне шара радиусом R (рисунок 2.18) получается тот же результат, что и для сферы, т.е. справедлива формула:

.

Рисунок 2.18

Точка В находится внутри заряженной сферической поверхности, на расстоянии r от центра (r<R). Сферическая поверхность, проведенная через эту точку содержать в себе заряд, равный

где ρ – объемная плотность заряда, равная ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

,

т.е. внутри шара

. (10)

Таким образом, внутри шара напряженность поля пропорциональна расстоянию от центра

Дата добавления: 2014-01-04