Логические Функции. Алгебра логики

Для грамотного применения логических функций вспомним некоторые основные положения алгебры логики. В алгебре логики объектами изучения являются: высказывания, логические операции и логические выражения.

Высказывание – это может быть предложение в любой форме (повествовательное, условие и т.п.), относительно которого имеет смысл говорить не об его содержании, а только то, что оно истинно (имеет значение ИСТИНА, 1) или ложно (ЛОЖЬ, 0). В алгебре логики определены три основные логические операции над высказываниями: логическое сложение (ИЛИ, дизъюнкция), логическое умножение (И, конъюнкция) и логическое отрицание (НЕ, инверсия). Логические операции – это действия над высказываниями, которые являются их аргументами. Определены законы (аксиомы) алгебры логики для выполнения этих операций. Все операции алгебры определяются таблицами истинности, которые определяют результат для всех возможных логических значений исходных высказываний. Если число высказываний в логической операции N, то таблица истинности будет содержать 2^N различных комбинаций (строк) возможных значений аргументов.

Действия, которые выполняются над высказываниями, записываются в виде логических выражений. Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логических операций. Сложное логическое выражение содержит логические операции с высказываниями в качестве аргументов.

Операция НЕ (условное обозначение ) применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть простое и сложное логическое выражение. Результат операции определяется таблицей истинности (рис.1.1, а).

Операции ИЛИ ( условное обозначение И ( условное обозначение применяются к двум и более высказываниям. Результаты операции ИЛИ и И определяются таблицами истинности (рис. 1.1,б, в).

а) б) с)

Рис. 1.1. Таблицы истинности для логических операций НЕ (а), ИЛИ (б), И (с)

Законы (аксиомы) алгебры логики позволяют преобразовать сложные логические выражения с целью их упрощения. Некоторые из существующих законов приведены в таблице 1.

	Для операции ИЛИ	Для операции И
Ассоциативность (независимость от порядка выполнения однотипных операций)
Коммутативность (независимость от перестановки)
Дистрибутивность (правило раскрытия скобок и вынесения за скобки)
Двойное отрицание	=А
Законы Де Моргана
Поглощение
Поглощение отрицания
Действия с абсолютно истинными и абсолютно ложными высказываниями	А1=1 А0=А	А1=А А0=0

С помощью таблиц истинности можно проверить равносильность двух любых сложных высказываний. Для этого следует доказать равенство значений этих высказываний на множестве значений всех простых высказываний, входящих в них. Рассмотрим пример доказательства Закона Де Моргана для операции ИЛИ (табл.2).

Табл.2

А	В

При решении логических задач в электронной таблице объектами, над которыми выполняются действия, являются: логическое условие, логические функции и логические формулы. Логическое условие является аналогом высказывания в алгебре логики. Логические функции являются аналогом логических операторов. Логические формулы используются в MS Excel для записи логических условий (логических выражений).

Логическое условие представляет собой величины или выражения одного типа, связанные знаком операции отношений: =(равно), <(меньше), >(больше), <=(не больше), >=(не меньше), <> (не равно). Такие логические условия называются простыми. Такие логические условия могут быть составлены из данных, ссылок и выражений. Например, А1>0, где А1 – это ссылка на ячейку, в которую введено числовое значение; A2>A1, где А1 и А2 ссылки на ячейки с числовыми значениями; ABS(A4) <=B4, где в А4 и В4 ссылки на ячейки с числовыми значениями, ABS(A4) ‑ выражение; B5*B6<0, где в В5 и В6 введены формулы для вычисления значения f(x) при x=a (В5) и (В6) при x=b по формуле f(x)=x³+2x²-3x-1. В ячейку B5 введена формула вида

=A5^3+2*A5^2-3*A5-1,

где в А5 введено численное значение a. Аналогичная формула введена в ячейку В6, в которой используется ссылка на ячейку А6, в которую введено значение b.

Логические функции вычисляют логические выражения и возвращают в качестве результата одно из двух значений: ИСТИНА или ЛОЖЬ, которые могут затем использоваться для выполнения других действий или форматирования. Доступ к логическим функциям открывается из раскрывающегося меню кнопки Логические, находящейся на вкладке Формулы Ленты а также при выборе категории Логические в диалоговом окне Мастер функций. Некоторые логические функции (всего 7 логических функций) и описание их назначения приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Логические функции и описание их назначения

Функция	Назначение
И (Логическое И)	И (логическое условие1; логическое условие2;…) ‑ возвращает значение: ИСТИНА, если все аргументы имеют значение ИСТИНА; ЛОЖЬ, если хотя бы один аргумент имеет значение ЛОЖЬ
ИЛИ (Логическое ИЛИ	ИЛИ(логическое условие1; логическое условие2;…) ‑ возвращает значение: ЛОЖЬ, если все аргументы имеют значение ЛОЖЬ; ИСТИНА, если хотя бы один аргумент имеет значение ИСТИНА.
НЕ (Логическое отрицание)	НЕ (логическое условие) ‑ возвращает значение ЛОЖЬ если аргумент имеет значение ИСТИНА и наоборот.
ЕСЛИ (Условный выбор)	ЕСЛИ (логическое выражение; значение, если истина; значение, если ложь) ‑проверяет на истинность условие в логическом выражении. Если условие выполняется то значением функции будет значение, если истина, а если условие не выполняется - то значение, если ложь.

Аргументы значение, если истина, и значение, если ложь функции ЕСЛИ могут содержать константы (числовые или текстовые) и выражения, результаты которых возвращаются в ячейку в качестве значения функции ЕСЛИ.

Дата добавления: 2014-01-04