Геометрический смысл аффинных координат

Рассмотрим прямую O и вектор , коллинеарный вектору . Тогда, как следует из теоремы 3.1.2, , причем

, если ,

, если .

Определение 3.10.1. Указанное число l называется алгебраической мерой вектора на оси, определяемой вектором , и обозначается .

С учетом введенного обозначения, очевидно, что .

Лемма 3.10.1. Для любых трех коллинеарных векторов и произвольного числа l справедливы соотношения

.

Доказательство. Пусть . По определению алгебраической меры вектора

Если , то

Рассмотрим теперь алгебраическую меру суммы векторов. По условию векторы являются коллинеарными, поэтому пусть . Тогда

.

Таким образом, можно утверждать, что аффинная координата произвольной точки M на координатной оси равна алгебраической мере ее радиус-вектора .

Пусть задана аффинная система координат O и произвольный вектор . Спроектируем начало и конец данного вектора на координатные оси, получаем соответственно и .

Определение 3.10.2. Вектор () называется геометрической проекцией вектора на координатную ось O (O).

Для геометрической проекции вектора на координатные оси будем использовать обозначение , .

В соответствии с правилом параллелограмма

.

С другой стороны, векторы , , поэтому

,

+.

Определение 3.10.3. Алгебраическая мера геометрической проекции вектора на координатную ось называется алгебраической проекцией вектора.

Алгебраическая проекция вектора на ось O обозначается . С учетом введенного обозначения вектор

,

т. е. аффинными координатами произвольного вектора являются его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинными координатами произвольной точки — алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

Допустим теперь, что в системе координат O задан произвольный вектор . Спроектируем точки N и M на координатные оси. Тогда точки N ₁ и M ₁ определяют вектор , точки N ₂ и M ₂ — вектор , а точки N ₃ и M ₃ — соответственно вектор . В соответствии с правилом сложения векторов

.

Следовательно, аффинные координаты произвольного вектора есть его алгебраические проекции на координатные оси, а аффинные координаты произвольной точки — алгебраические проекции ее радиус-вектора на соответствующие координатные оси.

Дата добавления: 2014-01-05