Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве

Теорема 3. 4.1. Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и линейно зависимы, следовательно, + =, причем хотя бы одно из чисел l ₁, l ₂ отлично от 0. Допустим для определенности l ₂ ¹ 0. Тогда

+ = , = ,

т. е. векторы и коллинеарны.

Достаточность. Пусть векторы и коллинеарны. Будем считать, что среди них нет нулевого вектора, ибо в противном случае в силу теоремы 3.3.2 эти векторы будут линейно зависимы.

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то в соответствии с теоремой 3.1.2 вектор представим в виде =. Тогда + (– 1) = , что и означает линейную зависимость векторов и .

Следствие 3. 4.1. Любые два неколлинеарных вектора и являются линейно независимыми.

Теорема 3.4.2. Три вектора в линейном пространстве V ³ являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , , линейно зависимы, следовательно, существуют такие вещественные числа a, b, d, что ++ =, при этом хотя бы одно из них не равно нулю. Допустим для определенности, что g ¹ 0. Тогда

++ =

или

=.

Векторы , коллинеарны соответственно векторам и , а их сумма, т. е. вектор , будет лежать в плоскости векторов и . Следовательно, векторы , , компланарны.

Достаточность. Пусть векторы , , компланарны. Будем считать, что среди них нет ни одной пары коллинеарных, ибо в противном случае в силу теоремы 3.3.3 три данных вектора будут линейно зависимыми.

Приведем векторы , , к общему началу О (рис. 3.4.1). Проведем через точку С прямую С , параллельную вектору и пересекающую прямую О в точке В. Далее параллельно вектору спроектируем точку С на прямую О . Векторы и , а также и коллинеарны. Тогда в силу теоремы 3.1.2 , =. Однако =+=+, откуда ++ (–1) = , что и означает линейную зависимость векторов , , .

Следствие 3. 4.2. Если векторы , , некомпланарны, то они линейно независимы в V ³.

Следствие 3. 4.3. Каковы бы ни были два неколлинеарных вектора , на плоскости, всякий третий вектор , лежащий в этой же плоскости, может быть разложен по векторам и в виде =+.

Теорема 3.4.3. Любые четыре вектора линейного пространства V ³ линейно зависимы.

Доказательство. Пусть , , , — произвольные векторы в пространстве V ³. Будем считать, что среди этих векторов никакие три не являются компланарными, ибо в противном случае данные четыре вектора будут заведомо линейно зависимы.

Приведем все векторы к общему началу О (рис. 3.4.2). Проведем через конец вектора плоскости параллельные плоскостям, в которых лежат пары векторов и , и , и соответственно. Обозначим через A, B, C соответственно точки пересечения указанных плоскостей с прямыми О ,
О , О .

Векторы и , и , и коллинеарны. Поэтому по теореме 3.1.2 =, =, =. Однако =++, откуда + + + (– 1) =, что и означает линейную зависимость векторов , , , .

Следствие 3.4.4. Каковы бы ни были три некомпланарных вектора линейного пространства V ³, любой четвертый вектор из этого пространства может быть разложен по этим векторам.

Дата добавления: 2014-01-05