Геометрический смысл систем линейных уравнений

Пусть прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор (рис.4.6.1).

Рис. 4.6.1.

Тогда радиус-вектор произвольной точки можно вычислить по формуле

. (4.6.1)

В заданной декартовой прямоугольной системе координат имеем , поэтому из (4.6.1) получаем

, . (4.6.2)

Соотношения (4.6.2) называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости. Выражая из равенств (4.6.2) параметр , и, приравнивая правые части, получаем

. (4.6.3)

Соотношение (4.6.3) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

С другой стороны, очевидно, имеем , т. е.

, (4.6.4)

где . Следовательно, одно линейное уравнение с двумя неизвестными определяет прямую на плоскости.

Определение 4.6.1. Вектор называется нормальным вектором прямой.

Так как скалярное произведение , то нормальный вектор перпендикулярен любому вектору, лежащему на прямой .

Рассмотрим теперь систему линейных уравнений

(4.6.5)

Каждое уравнение системы определяет прямую на плоскости. Нормальные векторы этих прямых и . Если , то векторы и не являются коллинеарными, при этом (4.6.5) имеет единственное решение, определяющее точку на плоскости.

В том случае, когда , получаем

, (4.6.6)

следовательно, векторы и коллинеарны. Если, кроме того,

,

то ранг матрицы системы равен 1, а ранг расширенной матрицы равен 2. Поэтому система (4.6.5) не имеет решения, что означает параллельность прямых.

Когда справедливо соотношение

,

то ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и система (4.6.5) имеет бесконечное число решений, что отвечает случаю совпадения двух прямых.

Пусть точки и лежат в некоторой плоскости . Допустим, что и два неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости (рис. 4.6.2).

Рис.4.6.2

Как известно, любой третий вектор в этой плоскости можно разложить по векторам и как по базису. Поэтому , следовательно, имеем уравнение

. (4.6.7)

Уравнение (4.6.7) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости. Оно определяет правило вычисления радиус-вектора произвольной точки плоскости .

В фиксированной декартовой прямоугольной системе координат Oxyz , . Поэтому в соответствии с (4.6.7) получаем

. (4.6.8)

Соотношения (4.6.8) называются параметрическими уравнениями плоскости, причем u и v — параметры, определяющие положение точки в плоскости .

По условию векторы и неколлинеарны, а тогда их координаты непропорциональны. Допустим, например, что , т. е. . Из первых двух соотношений (4.6.8) с помощью формулы Крамера однозначно определяются выражения для параметров u и v:

, .

Подставляя полученные выражения в третье соотношение формул (4.6.8), получаем

.

Если ввести обозначения , то уравнение плоскости, проходящей через точку , принимает вид

,

отсюда имеем

. (4.6.9)

Соотношение (4.6.9) называется общим уравнением плоскости. Вектор называется нормальным вектором плоскости и обладает тем свойством, что перпендикулярен любому вектору, лежащему в данной плоскости, что непосредственно следует из формулы (4.6.9). Таким образом, линейное уравнение с тремя неизвестными определяет плоскость.

В векторной записи общее уравнение имеет вид , откуда получаем

, где . (4.6.10)

Уравнение (4.6.10) называется общим векторным уравнением плоскости.

Заметим, что , следовательно, по определению векторного произведения можно принять , а поэтому получаем следующее уравнение плоскости, проходящей через точку :

.

Векторно-параметрическое уравнение (4.6.1) прямой в фиксированной ДПСК в пространстве определяет параметрические уравнения указанной прямой:

, (4.6.11)

где .

Направляющий вектор , следовательно, среди его координат обязательно есть отличные от нуля. Пусть для определенности . Выражая параметр l из первого соотношения, и, подставляя в два других, получаем систему линейных уравнений

или

(4.6.12)

где , . Таким образом, система двух линейных уравнений с тремя неизвестными (4.6.12) является общим уравнением прямой в пространстве.

Выражая параметр l из каждого соотношения (4.6.11), получаем каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку , с направляющим вектором

. (4.6.13)

Заметим, что если какая-либо координата направляющего вектора равна нулю, то в соответствии с правилами пропорций необходимо приравнять нулю соответствующий числитель в (4.6.13).

Дата добавления: 2014-01-05